450 EJERCICIOS RESUELTOS DE APTITUD LOGICA MATEMATICA PREUNIVERSITARIA PDF

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1. En una reunión a la que asisten 90 personas, la edad promedio es 18. Pero si cada hombre tuviera cuatro
anos menos y cada mujer tuviera dos anos más, la nueva edad promedio sería 16,6.
Dar como respuesta la relación del número de hombres del número de mujeres en dicha reunión.

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2. ¿Cuál es el número comprendido
entre 200 y 300 que leído al revés es
el doble del número que sigue al original?
RESOLUCiÓN:
3. En un salón de clases si se da un
premio a cada alumno, sobrarran “n”
premios; pero si se entrega ‘n” premios
a cada alumno, entonces “n”
alumnos no recibirán premios.
¿Cuántos alumnos hay?
RESOLUCiÓN:
Sea “x” el número de alumnos
1 premio a elu
sobran ‘n’ premios
‘——y——-
Total.de =x+n =
premios
Al resolver:
n2 +n
x =—-n=:I
“n” premios a rJu
‘n’ alumno no reciben
\ ”
(x – n)n
® Un alumno al efectuar la multiplicación
de 4324 por un número dado
obtiene cierto producto, pero uno
de sus companeros le hace notar
que ha tomado un 7 por un 4 en la
cifra de las decenas del número dado.
¿Cuánto debe agregar o restar
al producto obtenido para hallar el
producto verdadero?
RESOLUCiÓN:
Sea: a … 7b el número dado, entonces
el producto correcto es:
4324xa … 7b
Pero se tomó el 7 por un 4 con lo
cual el producto obtenido es:
4324xa … 4b
Luego:
— —
4324xa … 4b = 4324(a … 7b-30)
— —
4324xa … 4b = 4324xa … 7b-129720
4324xa … 4b = 129720=4324xa … 7b
‘—–v——– ‘—–v——–
Producto Producto
obtenido conrecto
Se obtiene que para hallar el producto
correcto hay que agregar:
129720.
® Un reloj se adelanta 205 cada 1 mino
Si empieza retrasado 1 min respeoto
de la hora nonmal ¿Dentro de qué
tiempo tendrá un adelanto de 2 minutos
respecto de la hora nonmal?
RESOLUCiÓN:
Ya que el reloj tiene un atraso de 1
min y según las condiciones del
problema debe tener un adelanto
de 2 min deberá adelantarse 3 minutos
< > 180 s tendrá que transcunrir:
En Adelanta
x9 (1 mino 20seg. ) x9
9min. 180seg.
:, 9minutos
® Un lote de cierta mercadería se
vende de la siguiente manera:
La quinta parte ganando el 20% de
su precio de costo, la mitad del resto
ganando el 40% de su precio de
costo, finalmente se vende lo restante
con una pérdida de 25%. Si en
la venta total se ganó 125 soles.
¿Cuál es el costo de todo el lote?
RESOLUCiÓN:
Costo total = 100x
5 +[:J Resto
Costo = 20x Costo = 40x Costo = 40x
Gana=20%(20x) Gana=40%(4Ox) Pierde=25%(4Ox)
Gana=4x Gana=16x Pierde=1Ox
En la venta total se gana:
125
10x= 125~x= 10 =5/.12,5
Costototal=100rL112O5J =5/.1250
En una suma se tiene 10 bolas verdes,
8 blancas y 12 rojas. Se extraen
al azar una por una, ¿cuántas se debe
extraer como mínimo para estar
seguro de tener 5 bolas de un mismo
color?
RESOLUCiÓN:
Para poder tener a lo seguro 5 bolas
de un mismo color, debemos tener
primero 4 bolas de cada color; es decir
4 verdes, 4 blancas y 4 rojas. Luego,
al sacar una sola más cualquiera
sea su color tendremos ya 5 de un
mismo color. Por lo tanto lo mrnimo
que se debe extraer es:
,-,4+4+4+1 = 13 bolas
Dos ruedas dentadas tienen en conjunto
180 dientes, pero como una de
ellas ha sido puesta fuera de uso, se
la reemplaza por otra cuyo número
de dientes es los 3/5 del que tiene la
rueda reemplazada. Dígase el número
de dientes que tenran las ruedas
primitivas, si el total de ellos ha disminuidoen48.
RESOLUCiÓN:
es reemplaza
\ ®®.©® 5x 180-5x
Dientes Dientes
Por dato:
3x+ 180-5x = 18048
x=24
Luego, inicialmente:
3x 180-5x
Dientes Dientes
Atiene 5(24) = 120 dientes
B tiene 180-5(24) = 60 dientes
Una piscina se ha estado desocupando
durante 3 dras, hasta que solamente
ha quedado 10 galones de
agua. En cada día se extraía sus 2/3
partes, más 3 galones. ¿Cuál es el
volumen total desalojado hasta el
momento?
RESOLUCiÓN:
l “x”L I

Si sale siempre ~ de lo que hay más
3 galones, entonces siempre va quedando
! de lo que habra menos 3 galones.
Luego de 3 días ha quedado:
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~ t~ t~ (X)-3J-+3 = 10 ~ x = 387
Volumen desalojado: 387-10 = 377
@Si: 1@I=X+l; 1 x+ll=x-l
Hallar: @+y
RESOLUCION:
-2 -2
I’X+~l como I@G~
entonces: @-2=x+l
:.~..+ 3
LUego:.. ~ Reemplazando en:
®=+V=S=(~:V
+4
~. IMbl m+n
eS¡;aob= a+b ;mAn= m-n
Ifa”,-b Ifm”,n
x+l
Además 0 =””””X-1 ,lfx”, 1
Hallar 12011
RESOLUCION:
Hallemos:
1
2+1
1 3+1
12811 2-1 rn 3-1
2.1 = 2+1 =-3-=3=-3-
2.1 =~
3 2 5 -+1 –
Luego: 12.11 =1 ~ 1= ; -1 =_ ~ =-5
3 3
@ Si (2;3) es un punto cualquiera, hallar
las coordenadas de 2 puntos que
equidistan de dicho punto, sabiendo
que las diferencias de sus abscisas y
ordenadas están en la relación de 3
a 2. Los 3 puntos son colineales y el
segmento determinado pertenece a
la parte positiva de los ejes coordenados.
RESOLUCION:
y /(m,n)
/(2,3)
Dato:
(a,b)
m-a _-ªm-
b – 2
Del gráfico: m+a = 4; n+b = 6
Del dato = __m. .- . .-a_ _= -:ó3__ n-b = 2
7 n-4 m=2
1
a=- b=2
2
Luego los puntos son:
[~;2JYG;4J
x
@ En un recipiente hay una cantidad
desconocida de esferitas, de las
cuales el 75% son de color rojo y las
demás son blancas. Si se triplica las
blancas y se disminuye en 20% a
las rojas, ¿cuál es el porcentaje de
las blancas respecto al nuevo total?
RESOLUCION:
Asumamos total = 100 esferitas
R: 75 –20% 60 B: 25 -x3 75 Total: 100 135
75 –
B: 135 xl00%=55,5
@ Tenemos entre monedas de S/.2 y
S/.8, S/.3400 y hay 2 monedas más
de S/.2 que de S/.8 ¿Cuántas monedas
en total tenemos?
RESOLUCION:
Moneda 5/.2 Moneda SI.8 Total de
‘—–v—-‘ ‘——-y—— ~
x+2 x 2x+2
luego: 2(x+2)+8x = 34
x=3
Total de monedas: 2(3)+2 = 8
@ ¿A qué hora inmediatamente después
de las 5 p.m., las agujas de un
reloj fonman 40· por 1 ra. Vez?
RESOLUCION:
5:x
a=40’=- ~ (x)+30(5)
~x=20 :. H.E:5:20
‘Í028′ S’. c-b = a-b
~ l. 27 8
Además: c+b-2a = 99
Hallar: “a-b”
RESOLUCION:
Del dato: c-b+2b-2a = 99
c-b-2(a-b)= 99 …….. (a)
27
Ahora: c-b = 8 (a-b) reemplazandoen
(a):
27 (a-b}-2(a-b) = 99
8 11
~ a (a-b) = 99
:. a-b=72
@ Un empresario pensaba de la siguiente
manera: “si le pago S/.15 a
cada uno de mis empleados me faltarra
S/.400, pero si les pago S/.8,
me sobrarían S/.160. ¿Cuántos
empleados hay en la empresa?
RESOLUCION:
Sea “n” el número de empleados:
15n-400 = tengo en soles = 8n+160
de donde: 15n-400 = 8n+160
Resolviendo: n = 80
@ El rendimiento de “A” es 3/5 del rendimiento
de “B”. Si juntos pueden
hacer un trabajo en 6 dias. ¿En qué
tiempo harra dicho trabajo “A” trabajando
solo?
RESOLUCION:
I.P.
Relación de ……-…..
Rendimientos Tlempoa Rendlm.
A: 3 6 8-(AyB)
B: 5 x 3-(Asoles)
Luego: 8(6)=3x~x= 16
@Sialdobledemiedad,SeleqUitan 13
años; se obtendria lo que me faltan
para tener 50 años. ¿Cuánto me faltan
para cumplir el doble de lo que tenía
hace 5 años?
RESOLUCION:
Sea x mi edad:
2x-13 = 50-x x=21
Ahora tengo 21 años hace 5 años tenra
16 años para cumplir el doble de
esa edad, es decir 32 años me faltan
11 años.
@¿Cuántos ángulos agudos se obser- -, ‘Di
RESOLUCION:
11(12)
N· total de ángulos: -2- = 66
Pero uno de los ángulos contados es
recto por lo cual:
N· de ángulos agudos = 66-1 = 65
@Si: Lfh = (n+l )n” ; calcular:
E=L09,ffi+L09,&+ … +L09’&
donde b = 104/7
RESOLUCION:
{} = n+l . ‘f =~ . ~ =-ª-.
~ n’~ 1 ,~ 2′
ffi= ~ ; …. ;&= ~90
Reemplazando:
3 4
E = LOg,2+LOg'”2+Log, “3+'”
. .. + Lag, 100
99
r. 3 4 5 99 100l
E = LOg’L2x”2xax4x … x 98 x 99 J
~E=Log,100
Por definición de Logaritmo:
Lag, 100 = E ~ 100 bE
4E
~ 102 = (104l7)E ~ 2 = –
• 14 7
•• E=4=3,5
@ En el siguiente anreglo:
f, 1
f2 8 27
fa 64 125 216
f4 343 512 729 1000
! / ! \
Hallar la raiz cúbica del último ténminodef20
RESOLUCION:
Sacando -?’a los últimos ténminos de
cada anreglo.
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fl’) ………. -!. = (1 x2)/2
f(2) ………… -ª-= (2×3)/2
f(3) ………….. ~ = (3×4)/2
fl.) ……………. ~ = (4×5)/2
I f(20) ……………….. ~= (20×21)/2
:. 210
@ El volumen de un sólido rectangular.
cuya base y caras laterales tienen 12
m2• 8m2 y 6m2 de área respectivamente.
es
RESOLUCiÓN:
_4m_ 3m”-: .. ;.;:: ………………… : t
~ ‘ 2m t i 3m, i ¡
2m! 8m’ ‘ ‘” ¡ i /3,{
-4m-
_._ V= (4m)(3m)(2m) = 24m3
@ El precio de un diamante es proporcional
al cuadrado de su peso. Si un
diamante de 7g vale S/.29400 y se
cambia por un diamante de 5g y un
reloj. ¿cuál es el valor del reloj?
RESOLUCiÓN:
Precio – cte
(PesO)2
7gr 1.. 29400 = 600
29400 72
5gr 1.. –“– = 600
SI. X 52
~x= 15000
Se observa: 29400 = 15000+S/.R
SI. R= 14400
@ Hallar el ténmino enésimo de la siguiente
sucesión armónica:
15,5,3, ……….
RESOLUCiÓN:
Sabemos que la inversa de los ténminos
de una progresión armónica origina
los ténminos de una progresión
aritmética.
P.H.: 15.5.3 •……….• _1
1 1 1 to
-,-,-, ……..• tn
15 5 3
‘-“‘—”
2 2
+15+15 _ ~n _ 1 __ 2n-1
~to- 15 15 – 15
_1 _~
_. to – 2n-1
@ Un cono sólido de vidrio pesa 10 kg.
Si se quiere construir un modelo
exacto de dicho cono. también de vidrio.
pero que tenga la mitad de las
dimensiones del original. ¿cuánto
pesará?
RESOLUCiÓN:
Inicio Final
~ ~
~ IVOI=R’XHI~
Vol = 22X2
Vol=8
Vol = 12X2
Vol = 1
El cono final. su volumen es la octava
parte del volumen inicial. entonces
su peso también será la octava
parte del original:
• 10
– – Peso = a = 1.25kg
@ Se dispone de un cierto número de
cuadernos con los cuales se construye
el mayor cuadrado posible.
sobrando 11 cuadrados; pero si hubiera
al menos otros 24. se podría
construir un cuadrado mayor.
¿Cuántos cuadrados hay?
RESOLUCiÓN:
sobran
x [IJ············D
~~~h~d 11 cuadraditos
x cuadraditos
Total de cuadraditos: x2+11
Pero si queremos hacer un cuadrado
mayor necesitaremos al menos
24 cuadriláteros. entonces:
x
.——–“—-
Necesitaremos {~} almenas =
[IJ·········D Q x 17
~~~uadraditos , … ~::::.. ~,
17~.v
Los 11 que sobraron más los 24 que
agregamos hacen 35 cuadraditos
que distribuimos da:
Seobservaquex= 17
:. Total de cuadraditos = 172+11 =300
® Si las horas transcurridas y las que
faltan transcurrir son (a-2) y (a+2)
respectivamente. ¿Qué hora es en
estos momentos?
RESOLUCiÓN:
Horas transcurridas Hora Faltan transcurrir
~t~
24 horas
a-2 +a-2 =24 a= 12
Luego:
La hora exacta es: 12-2 = 10:00 am
@ Si quedan del dla 1/3 del tiempo
transcurrido. ¿Qué hora será dentro
de 2 horas?
RESOLUCiÓN:
Horas que faltan
Horas transcurridas Hora transcurrir
~t~
24 horas
3x+x=24 x=6
La hora exacta es:
dentro
3(6)=18:00 -de2h 20:00<>8pm
@Si Y es un número real entre 4 y 7 Y
además “y” es un número entre 42 y
64. Entonces entre qué valores se
encuentra ‘y/x”
RESOLUCiÓN:
Por dato:
4.
n. ABC es un triángulo equilátero
ya que tiene como lados las diagonales
de las caras del cubo.
:. a=60°
@ En una asamblea la séptima parte
de las mujeres usa gafas, mientras
que la octava parte de los hombres
tiene auto. Si desde que empezó la
reunión sólo se fueron 6 parejas,
quedando reducido el total a 41.
¿Cuántas mujeres no usan gafas?
RESOLUCiÓN:
Total personas = los que quedaron +
los que se fueron
Total =41+12=53
Mujeres + hombres = 53
7M+8H=53
J, J,
3 4
7(3)+8(4)=53
:. Mujeres=21 Hombres =32
Luego: Mujeres que no usan gafas =
-ª-(21) = 18
7
@ ¿Cuántos cuadriláteros que no son
cuadrados se observan?
1111111
RESOLUCiÓN:
Total de cuadriláteros: 6×7 x 3×4 = 126
2 2
Total de cuadrados: 6×3+5×2+4xl = 32
Total de cuadriláteros que no
son cuadrados (reclángulo) = 126-32 = 94
Total de cuadriláteros = 94
que no son cuadrados
@ Una secretaria quiere comprar un
equipo de sonido valorizado en SI.
950. El vendedor le comunica que se
le hará tres descuentos sucesivos
del 1 0%, 20% Y 25%. Como su sueldo
no le alcanzaba en ese momento,
solicitó un aumento a su jefe, el cual
se le fue otorgado; se le hizo tres aumentos
sucesivos a su sueldo del
10%,20% Y 25%, pero aún asr le faltó
5/.18 para comprar el equipo de
sonido. ¿Cuál era el sueldo de la secretaria
antes del aumento?
RESOLUCiÓN:
0.5. (10%; 20%; 25%) al hacer estos
descuentos queda:
1
7
;0 U~O t19~0 (950~J =
= ! t: [ 1
9
0 (950~J = 513
El nuevo precio del equipo (ya descontado)
es: 5/.513
Al sueldo “x” de ella se le hacen 3 A.
5.(10%;20%;25%)
ahora su sueldo nuevo será:
125 [120 r 110 ~J 33
100 100 l100xJ = 20 x
Luego por dato:
33 x+18 = 513 ~x = 300
20
Luego el sueldo es: 5/.300
@ Una persona tiene una cierta cantidad
de dinero entre monedas de
5/.5 y monedas de 5/.2. Si el número
de monedas de cada valor se intercambiase,
la cantidad inicial se
incrementaría en 5/.12. Hallar la
cantidad de dinero que posee la
persona si tiene en total 12 monedas.
RESOLUCiÓN:
Se tiene: {x monedas de S/.2
12monedas (12-x)monedasdeS/.5
~ Total = 2x+5(12-x)
=60-3x
P d”ó {(12-X)mOnedasdeS/.2
orcon ICI n: xmonedasdeS/.5
~ Total = 2(12-x)+5x
= 24+3x
Inicio Final
r-“–” ,-J—,
~ 60-3x+12=24+3x~x=8
Total = 60-3(8) = 5/.36
® Con 20 obreros puede hacerse una
obra en 18 dias. Se empieza la obra
y al cabo de 6 días se retiran 10
obreros y 4 d ias más tarde se contratan
a cierto número de obreros,
para tenminar en el tiempo previsto.
¿Cuántos obreros se contrataron?
RESOLUCiÓN:
I Rendimientoxtiempo = obra I
Sea el rendimiento de un obrero
iguala 1.
I 20×18 —–1
20obraros 18 dlas
1 20(6) 10(4) (10+X)81
6 dlas j 4 dlas t 8 dlas
se van 10 obreros se conb’atan x obreros
Asi: 20(6)+10(4)+8(10+x) = 20(18)
x = 15
@ Con 15 obreros se puede hacer una
obra en 18 dlas, pero al cabo de 12
dras sol han hecho 3/5 de la obra.
¿Con cuántos obreros deberán ser
refOlzados estos 15 obreros para
lenminar a tiempo?
RESOLUCiÓN:
Toda la obra
I—–a 5k ~ clW:J&J 12 dlas 6 dlas
15 obreros (15+x) obreros
(.# ,–=,ob::cre”-ro=s)”,.(c:ctie::cm,,,p=-=o,,-)
– = cte
obra
15.12 (15+x)6 ~x=5
3K 2K
@ “Pagué 12 centavos por los huevos
que compre al almacenero”, explicó
la cocinera, “pero le hice darme dos
huevos extra, porque eran muy pequenos,
eso hizo que en total pagará
un centavo menos por docena que el
primer precio que me dio”. ¿Cuántos
huevos llevó al final la cocinera?
RESOLUCiÓN:
Por 12 ctv reciblax huevos:
~ ~12[~J
‘—-y-‘ ‘—-y—-‘
Costo de Costo de
un huevo una docena
de huevos
Sin embargo por 12 ctv:
recibió x+2 huevos:
~~12r12J
x+2 [x+2
‘—-y-‘ ‘—-y—-‘
Costo de Costo de
un huevo una docena
de huevos
Por condición:
12t~j-12tx~~J = 1
Resolviendo: x = 16
Al final la cocinera lleva:
16+2 = 18 huevos
® Dos obreros, uno viejo y otro joven,
viven en un mismo apartamento y trabajan
en la misma fábrica. El joven va
desde la casa a la fábrica en 20 minutos,
el viejo, en 30 minutos ¿En cuántos
minu10s alcanzará el joven al
viejo andando ambos a su paso
normal, si éste sale de casa 5
minutos antes que el joven?
RESOLUCiÓN:
El joven se demora 20 min y el viejo
30 mino Si asumimos que la distancia
de la casa a la fábrica sea 60 m tendremosque:
V _, = ~~ = 3m/min
VV1~O = ~~ = 2m/min
2m/min
1- sale el i fA”flanciano
~60 ___ U
IU3~~~,¡~ _
~~d I I
2×5 -10m
Entonces, el joven alcanza al viejo en:
10 10′ 3-2 = m,”
@Si:X+~ =3
Calcular: x3 + -;X
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RESOLUCiÓN:
Elevando al cubo el dato:
[x+ !]’=(3)3
x3 +3x.-!Jx+_!J+ ~ = 27 xl xJ x
“—-v—‘
3
1 1
x3+9+-= 27″ x3 x3 + -x3= 18
\~!!5′ Si: x = aa+bb ” Y=8a-bi)
Hallar: x+y
x-y
RESOLUCiÓN:
a+b a-b 2a 2
x+Y=8i)+8i)= ab =1)
a-b a-b 2a 2
x-y = 8i)+8i) = ab =”
2
x+y b a
Luego: x-y = 2 = 1)
a
~ Se ha disuelto sal de cocina en agua
pura a 4’C obteniéndose una disolución
que pesa 15 kg Y contiene el 9%
de su peso de sal. Se desea saber,
¿cuántos litros de agua en las mismas
condiciones se debe agregar a
la disolución para que 4 kg de la nueva
disolución contenga 120 g de sal?
RESOLUCiÓN:
9% (15kg)
‘—-‘.r–=’
1,35kg
xL< >xkg
~
o~~
‘—-y—.J
15kg
Luego:
,[J,
4kg-0,12kg
(15+x)kg -I,35kg
4xl,35 = (15+x)(O,12)
• x=30L
~ ¿Cuántos triángulos hay?
~ RESOLUCiÓN:
Separando la figura original.
~ ~(II) ~(I) dLJ
# triángulos (1)
5×6 = 15
2
Total: 21
# triángulos (11)
3×4 = 6
2
@ A 80 litros de alcohol de 60′ se le
agrega 40 litros de agua. ¿Cuántos
litros de alcohol de 100′ se debe
agregar a esta mezcla para obtener
la concentración inicial?
RESOLUCiÓN:
80% 40% xl (120+x)1
H2oJi~it§J§~l~:;iL~~
OH-~8~~-OH
OH: 60′ OH: 100′ OH: 60′ 60%
Trabajando con el agua de la mezcla
final, tendremos:
72=40′(120+x)x= 60 t
@ Si a una cantidad le quitamos su
60% y luego a la cantidad resultante
le aumentamos su 40%, obtendriamos
un número igual a la cantidad
original disminuida en 44 unidades.
Determinar la cantidad inicial.
RESOLUCiÓN:
Sea la cantidad: “x”
Sólo con lo que queda:
140% (40%x)=x44
14 2 -x-x=x44
10 5
:. x= 100
@AI lanzar dos dados normales,
¿cuál es la suma que mayor probabilidad
de ocurrencia tiene?
RESOLUCiÓN:
Graficando total de casos posibles:
Dado@2
6
5
4
3
2
1
123456 Dado CD
En el gráfico se observa que la suma
que tiene mayor ocurrencia es
la7.
Una rueda con llanta de caucho tiene
un diámetro exterior de 25 pulgadas.
Cuando el diámetro disminuye
en un cuarto de pulgada, entonces
el número de vueltas que la rueda
dará en una milla sufre una variación
porcentual de:
RESOLUCiÓN:
100 vueltas x vueltas
Planteamos:
100X25=X[24 !J ~x=10I,01
El número de vueltas aumentó:
1,01%
@ Sea “n” el número de formas en que
10 dólares pueden ser cambiados
en monedas de 10 Y 25 centavos,
usándose por lo menos una de cada
denominación. Luego “n” es
iguala:
RESOLUCiÓN:
1$10<>1 ® + @
x monedas y monedas
10xctvs + 25yctvs = 10 dólares …. (1
dólares 100ctvs)
1 Ox+25y = 1000
2x+5y = 200
5 38} (Cada solución representa una
10 36 forma de hacer el cambio)
15 34 19 Soluciones
I I
952 :.n=19
® Un obrero se compromete a pintar
una pared en 12 horas. Luego de pintar
la mitad, disminuye su rendimiento
a la tercera parte, luego de pintar la
mitad del resto, disminuye su nuevo
rendimiento a la cuarta parte, terminando
de pintar toda la pared ¿con
cuántas horas de retraso terminó de
pintar la pared?
RESOLUCiÓN:
Asumiendo rendimiento: 12 y aplicando
(cantidad de obra)
12h ~ _ A __ ~
F
t 4t
,
6h …. -.-… …–….
12
1
72 4 i 1
Rend. (Rend) I (Rend) … 4t+4t= 72″ t= 9
!:total: 6+9+36 = 51 h
:. a+b+c=51-12=39h
@ Una escalera mecánica se mueve
hacia arriba. Si una persona sube caminando
sobre ella emplea 48s, pero
si baja por ella emplea 80s. ¿Qué relación
hay entre la rapidez de la escalera
y la rapidez de la persona?
RESOLUCiÓN:
48S.~
~~E.–I /
“/0/ 80 seg • V,: Rapidez do d la persona
• VE: Rapidez de
–“””’–..J la escalera
Luego: V
E 1
d = (V,+VE)3 = (V.-V.)5 ~ V. = 4
@un ovillo pesa 171 kg más los ; de
los ~ de -f.¡- de su peso. ¿Cuánto
pesa el novillo en kilogramos?
RESOLUCiÓN:
Por condición del problema tendremos:
Peso del ovillo:
171+ ; x ~ x 1~ (peso del ovillo)
Resolviendo: 231 kg.
@¿QUé tanto por ciento de 160 es 50?
RESOLUCiÓN:
Planteamos:
www.Matematica1.com
x%de 160=56. luego:
x
100 x(160)=56~x=35
Luego el tanto por ciento es 35%.
~ 1 1 1 1
~ Restar 4 de 3; de S restar 2 ;
sumar las diferencias y agregarle el
resultado de sumar a + los ~ de la
mitad de 3.3. Los ~~ del resultado
total es:
RESOLUCiÓN: + -1 = 1~ }8umandO las diferencias:
1 3 13
1 1 3 —=-
—=- 12 10 60
5 2 10
Ahora: …!..x-ª-x…!..x~ = 397
3 5 2 10 300
L ._~_ 397 _ 332
uego. 60 300 – 300
. 30 r33i1 2
Nos piden: 83l300rS
@ Hallar: a+b+c. si L,: x-3y+a = O
L,: y = 5x+b y L3: y = -2x+c
y
(2:0)
RESOLUCiÓN:
Toda coordenada perteneciente a
una recta. debe cumplirla ecuación:
(0,4) E L,yL3:
L,:x-3y+a=Oa= 12
.j. .j.
O 4
L3:y=-2x+c~c=4
.j. .j.
4 O
(2.0) EL,:
y=5x+b~b=-10
.j. .j.
O 2
:.12-10+4=6
@ Al lanzar 3 monedas ¿cuál es la probabilidad
de obtener una cara y dos
sellos?
RESOLUCiÓN:
Casos totales = l’ 2′ 3′
000
2 x 2 x 2 =8
/\ /\ /\
CII’!IIysello CII’!IIyaeloCll’!llylllllo
Casos favorables = C~ xC~ = 3
Probabilidad = Casos favorables = 3
Casos totales = 8
:. La probabilidad es 3/8
12
@SegÚnelgráfico. ‘~’1
¿Que hora es? o ! 2
9 ..•..•.. .•..•.• 3
• a
8 ; a. 4
7
6
5
9+—I’-~:-+3 iminutos6
6x”
a
,……-‘—.
6x= 180+[39- ~j
420 4
x=13=3213
:. Son la 1:32 ,~
@ Hallar el valor de la siguiente serie:
S = S’+S’+S3+S.+ …… +S4O
donde: So = 80+78+76+74+72+ ….
‘~—v ./
“n” sumandos
RESOLUCiÓN:
8,=80
8,=80+78
8,=80+78+76
8.=80+78+76+74
I I I I I
80= 80+78+76+74+ …. +4+2
8 = 80x4O+78×39+ 76×38+ … +6×3+4×2+2xl
8=2(40+39+38+ ….. +3+2+1)
8=2x 40x41x81 =44280
6
@ En cada dra de lunes a viemes
gané S/.6 más de lo que gané el dra
anterior. Si el viernes gané el quintuple
de lo que gané el lunes.
¿Cuánto gané el jueves?
RESOLUCiÓN:
……–………..—…………–………….–……
L Ma Mi Ju Vi
~ +4K=24
K=6
luego. el viernes gané 30 y el día
anterior. es decir. el día Jueves ganéS/.
24.
@ Un comerciante compra carteras al
precio de 75 soles cada una yademás
le regalan 4 por cada 19 que
compra. recibiendo en total 391 carteras.
¿Cuál fue la inversión del comerciante?
RESOLUCiÓN:
Compran Le regalan
19n + 4n =391 ~ n=17
Compro: 17(19) = 323 carteras c/u
aS/.75
Inversión: 323×75 = 24225
@ Para que una de las raíces de la
ecuación: ax2+bx+c= O
sea el doble de la otra. los coeficientes
deben estar relacionados como
sigue:
RESOLUCiÓN:
ax2+bx+c=O
sean: ny2n son raíces
n+2n = – -“- n =-~
a 3a
n.2n = ~ => n2 = 2~
~[;~J’ = 2~
Simplificando: 2b’= 9ac
@ ¿Cuántos números de la forma:
[5- ;J (3-b)(C+4>[ a;4J existen?
RESOLUCiÓN:
Analizando los posibles valores:
a = 4. -2. O. 2. 4. 6. 8.~ 7 valores
(3~b)=0.1.2.3 •…..• 9~ 10 valores
(c+4) = 0.1. 2. 3 ……… 9~ 1 O valores
Luego; por el principio de multiplicación:
——
[5- ;]3-b)(C+4) [a;4J
‘—-y—‘ ‘-y-‘ ‘–y-‘
7 x 10 x 10 = 700 números
@Setiene un cajón de 84 manzanas de
10 gr cada uno y otro cajón con 54
manzanas de 25 gr cada uno ¿ Cuánlas
manzanas deben intercambiarse
para que sin variar el número de manzanas
de cada cajón. ambas adquieran
el mismo peso?
RESOLUCiÓN:
Peso:840g
Hecho el intercambio. se tiene:
840-10n+25n = 1350-25n+10n
Resolviendo n = 17
@se pagó S/.87 por un traje. un libro y
un sombrero. El sombrero costó S/.5
más que el libro. y S/.20 menos que el
traje. Hallar el precio del libro.
RESOLUCiÓN:
T+L+S=87
.j. .j.
(x+25)+x+(x+5) = 87 ~ x = 19
@Calcularel área del circulo. si a = 64
cm. M
RESOLUCiÓN: ~
Recordando:
~ d=2vRxr
~ Luego:
1 2V64xr = 32
=>r=4cm
:. Areadel
círculo =
10(4)’ =1&
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@ En el gráfico, ABCD es un rectángu-
10,AB =20cm, BC=22cm. Si r=7cm
calcular CT, si “r es punto de tangencia.
Bn-bCJ-T——“,.,C
A-O
RESOLUCiÓN:
B 22cm. C
2ocm·~120cm.
AI-7 I 15—-1
0
De la figura: x2+72 = 252
x=Y576 _-_ x=24
@!9l ¿Cuántas palabras diferentes se
pueden fonmar con todas las letras a
la vez, de la palabra “murciélago”, si
todas las vocales deben estar juntas?
(Las palabras no necesariamente
van a ser pronunciables).
RESOLUCiÓN:
[QT~~:ºlM R C L G
,¡. ,¡. HH }ES ccmo si fueran
10 2°3°4°5°6° 6elementos:P6= 6!
Las vocales entre sí también se ordenan:
P=5!
.’. Número de palabras = 6!x5! = 86400
@ 24 carpinteros pensaban hacer 100
carpetas en “(” días, pero a los 9 días
10 de ellos se enfenman por lo que
disminuyeron su rendimiento, cada
enfenmo en un 30% terminando las
carpetas con 3 dras de retraso. Hallar
el valor de “r.
RESOLUCiÓN:
Asumiendo rendimiento nonmal: 10 Y
aplicando (cantidad obra)
t días ~ ____ A, ______ ,
r 9 dias , (t-6) días
~~ ! ~4(10):10(7),
Rond. L_–…¡i_….:.R::..n::.d …. _.J
~ 24(10)xt=24(10)x9+
+[14(10+10(7))](t-6)
24(10)1 = 24(1 0)x9+210(t-6)
24t=216+21t-126
3t=90~t=30
@AlsimPlificareIProductO:
E= [1- ~J ~- ~l ~} … +I~ J
Se obtiene:
RESOLUCiÓN:
Efectuando la sustracción en cada
factor, tendremos:
E =[~J[!J[:}””{~~J
S·Im p II’f i can do E = -2x -2x” -xA ···x1-$-
2 1 2″ A 1) 16
E=16=a
@ Halla~ la .cantidad de ténminos de la
P.A. siguiente:
3; -1; -5, ……….. , -73
RESOLUCiÓN:
3;-1;-5; ……. ;-73
‘–“‘–”
-4-4
t n=-+4n+7
Luego:
-4n+7=-73
n=20
.’. La sucesión tiene 20 términos
@ Los ángulos interiores de un triángulo
están en progresión aritmética.
Hallar el complemento del ángulo
intenmedio.
RESOLUCiÓN:
a+a-r+a+r = 1800
~a=60·
.’. El complemento de 60· es 30·
@ Una obra puede ser hecha por “A” y
“B” en 6dias, por”ByC” en 8dias, y
por “A y C” en 12 dias. La obra es
empezada por los 3 juntos y cuando
ya han hecho las 3/4 partes “A” se
retira, “B y C” continúan hasta que
hayan hecho la mitad de lo que quedaba,
entonces se retira “B”, tenninando
OC” lo que falta de la obra.
¿En cuántos días se hizo la obra?
RESOLUCiÓN:
Sea una obra = 48 m de pared
Obreros Obra(48) 1 dla
A+B ~ 6días ~ 8m ….. (I)
B+C ~ 8días ~ 6m
A+C ~ 12dras ~ 4m
—- —-
2(A+B+C) ~ 18 m
A+B+C ~ 9m ….. (2)
de (1) Y (2) se deduce que C en un
día~1 m
148m I
1–36m –+-6m -+- 6m–l
I A+B+C IB+cl C I
———-“–“””–“” 4 dras 1 dia 6 dras
Tiempo: 11 dlas
® Un triángulo equilátero y un exágono
regular tienen perrmetros iguales.
Si el triángulo tiene una superficie
de 2 u2, ¿qué área tiene el exágono?
RESOLUCiÓN:
Por dato:
Perímetro del L. = Perímetro del O
3(2a) = 6a
~a
a ,5 a
5 O
a a a
,’. Área del exágono = 6(0,5) = 31’2
@Juan y Raúl comienzan a jugar entre
sí con igual suma de dinero cada uno.
Cuando Raúl ha perdido los 3/4 del
dinero con que empezó a jugar, lo
que ha ganado Juan es 24 soles más
que la tercera parte de lo que le
queda a Raúl. ¿Con cuánto empezaron
ajugar?
RESOLUCiÓN:
,-Ju-a-n- , ,-R-a-ú-l ,
~=~\
Gana:24+b dJ?fI4K)=3K
Pero se sabe que lo que uno pierde
es la ganancia del otro:
~24+….I<...=3k ~ k=9 3 ,'. Rául empezo al igual que Juan con: 4(9) = 36 soles @ Hallar el perímetro de la figura sombreada, si O, C Y P son centros de circunferencia de radio igual a 3, r = 1; +(3Va-l)
= 57t+6v3+4
@ Dos ciclistas parten simultáneamente
al encuentro, el uno del otro, con
rapidez que están en la relación de 4
a 3 y se encuentran cuando el más
veloz ha recorrido 60 km más que el
otro. Calcular el espacio recorrido por
el más lento hasta el momento del
encuentro.
Luego: _ Jl. _ 397 = 332
60 300 300
. 30 r332J 2
Nos piden: !i3l300 r”5
@Si mezclamos 80 litros de alcohol al
70% de pureza con 60 litros de alcohol
al 40% de pureza ¿qué porcentaje
de pureza tendría la mezcla resultante?
RESOLUCiÓN:
M+M=~
OH: 70%
456t
OH:~~
1~0 (140)
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donde:
140
100 (x) = 56+24
x=57,14
Luego el porcentaje de pureza es
57,14%
@ Tanto en el numerador como en el
denominador de la siguiente igualdad,
existe el mismo número de términos.
Calcular”a+b”
111+113+115+ …. +a = 11
1+3+5+ …. +b
RESOLUCiÓN:
Expresando cada sumando como sigue:
n Términos
(111it1)+(110+3)+(110+5)+ … + lllit2n-1
\ 1 +3+5:” .. + I 2rt¡1 I
n Términos b
110n+n’ = 11 ~ 11,0)0( = 1,On’
n’
~n = 11
:. a=110+2(11)-1 =131
b=2×11-1 =21
:. a+b= 152
a
-11
@ 5e compraron pares de zapatos a
precios que varian desde 200 soles
hasta 350 soles y se venden a precios
que varian de 300 soles a 450
soles inclusive. ¿Cuál es la mayor
ganancia posible que puede obtenerse
de la venta de 8 pares de zapatos?
RESOLUCiÓN:
200,; P,,; 350
300,;Py ,;450
Compra: 200×8 = 5/.1600
Vende: 450×8 = 5/.3600
Ganancia: 3600-1600 = 5/.2000
@ Un juego consiste en trasladar los
discos de madera del primer eje al
tercero. ¿Cuántos movimientos como
mrnimo deberán realizar, sabiendo
que un disco grande no puede
situarse sobre uno pequeño? ! ~ ~
RESOLUCiÓN:
Pongamos números de menor a ma-
Yor:ffi __
2
(1′)3 (S’) 12 (11′)1
iL iL Hi
1
12i11
(2′)3 (7′) 2 (12′) 1 3
!H iL Li
1
(3′)3 1 (S’) 2 (13′) 3 15 L! _H !11 Movimientos
2
(4′) 1 (9′) 21 (14′) 3
iE _H _11
2
(5′) 1 (10′) 1 (15′) 3
H! Hi __ i
@ Dos trenesAy B de longitudes “L,”y
“Li se desplazan en sentidos
opuestos con rapideces constantes
y tardan 8 segundos en cruzarse totalmente
entre sr, pero si A duplicará
su rapidez, tardarran 6 segundos
en cruzarse. Determinarla razón de
sus rapideces (A/B).
RESOLUCiÓN:
5ean las rapideces iniciales “V A” Y
“VB”.
Aplicando tiempo de encuentro en
ambos casos obtenemos:
8- L,+L,
– V,+V, L,+L,
.. ..8.= VA+V, _.!= 2VA+V’
6 L,+L, 3 VA+V’
6 = L,+L, 2V,+V,
2V,+v,
4VA+4V.= 6VA+3V.
V.=2VA
• VA 1
.. V. =2″
@ Pablo vende una radio descontando
el 25% del precio que fijó, pero
aún asi ganó el 35% del precio de
costo. Calcular el precio de lista si la
ganancia fue 5/.63.
RESOLUCiÓN:
35% Pe 25% PL
P~~L
I I I
100K 35K 135K=75M 25M 100M
Dato: Ganancia: 35k = 63 5 ~ k = 9
Pv: 135K=75M
27(5K)=75M
27(9)=75M
~25M=81
:. PL = 100M = 4(25M) = 4(81) = 5/.324
® En la figura MC = 2AB, calcular “a”
B
A .ot::Jc…!:!=——-:::..,C
RESOLUCiÓN:
B
Trazamos la bisectriz calcule el área del triángulo ABC en
función de las áreas “U” y “T”. Además:
U = 10 cm'; T= 2,5cm'; “O” centro .
B
RESOLUCiÓN:
5e sabe que:
(a+x+ T)+(b+ T +y) = x+y+u
a+T+b+T=u
‘—y–‘
STriéngulo+ T = u
5=u-t
5= 10-2,5
5=7,5
@ La ecuación de la recta qu~asa JlQr
los puntos medios de AB y CD,
siendo:
A= (3;4), B = (4;5), C= (-2;6),
D = (5;7), es:
RESOLUCiÓN:
Por pendientes: y_n.
.- 2 •• L=-3-=-1
x–
2
13 3
y-2″ = -x+”2 ~x+y+5 = O
@ Al lanzar una moneda 3 veces consecutivas,
¿cuál es la probabilidad de
obtenertressellos?
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RESOLUCiÓN:
Casos totales = 2x2x2 = 8
Casos favorables =@@@= 1
P b bT d d = Casos favorables = ~
ro a I I a Casos totales 8
:. La probabilidad es 1/8
@ En la figura se muestran 3 circulos
iguales de radio igual a R. Entonces
el área de la región sombreada es: lA RESOLUCiÓN:
Del gráfico: S = (2R)(R)
S=2R2
@ Newton nació en el siglo XVII y murió
en el siglo XVIII. Se desea saber el
ano de su nacimiento y el ano de su
muerte, sabiendo que el número foro
mado por las dos últimas cifras del
año de su nacimiento aumentado en
12, es el doble del número formado
por las dos últimas cifras del año de
su muerte y que este número aumentado
en 1 en las 2/3 partes del
primero.
RESOLUCiÓN:
Año de nacimiento: 16ab
Año en que murió: 17mn
ab+12=2mn}_ [2 _ ~ – 2 – ab+12 = 2 -ab-l
mn+l =3 ab 3
ab=42
mn=27
Nació: 1642
Murió: 1727
@Si:a8b=a+b+2
Hallar: E = (382.1)83.1
Si: a-1: elemento inverso de “a”
RESOLUCiÓN:
a8b=a+b+2
r Elomenlo,,”””
a8e=a
‘–y-‘
¡í+e+2=¡í –+le=-21
Luego:
a8a-1 =e (por definición)
a8a-1 =-2
a+a-1+2=-2
. I -1- I 2-1=_6
•• a –4-a ~ 3-1=_7
Luego reemplazando en:
E=(38-6)8-7
E=-18-7=-6
@ En la figura A, B, C son engranajes
con 30, 60 Y 120 dientes respectivamente.
“A” hace girara “B” y este hace
girar a “C”. ¿Cuándo “C” haya
dado una vuelta completa, ¿cuántas
vueltas daráA?
1 vuelta
Como sabemos: #V.I.P. #d
.. 120xl = 30(x)
x=4
Ada4vueltas.
@ Dada la siguiente tabla:
a a b c
a }?_J~l __ ~,
b ‘a’ bi c, l. ___ i _____ .l. _____ J
cbL.~.Ja
Hallar: E = (a 8 c)-18 b
RESOLUCiÓN:
a a b c Elemento
a c a b neutro
¡
b a b cl e=b
c b c a
Luego:
a8a-1=b b8b-1=b c8c-1=b
de la labia a8c=b b8b=b c8c=b
“—-y—-‘ “—-y—-‘ ‘——-y—-‘
a-1=c b-1 =b c·1=a
En la pregunta:
E=(a8c)-18b
b
E=b-1 8b~E=b8b=b
@ Si: P [; J = P(x)-P(y), calcular:
P(4)1P(2)
RESOLUCiÓN:
P(2) = P [;J = P(4)-P(2)
Luego: P(2) = P(4)-P(2)
~ 2P(2) = P(4)
p(‘)
~–=2
P(2)
@ La diferencia entre un número de 3
cifras y otro número obtenido escribiendo
el anterior, pero con las cifras
en orden invertido, siempre es
múltiplo de:
RESOLUCiÓN:
Número original: abc
De la condición:
abc-cba = (100a+l0b+c}-
_ .–11 OOc+l Ob+a) = 99a-99c
~abc-cba = 99(a-c) = llx9x(a-{:)
.’. La diferencia es múltiplo de 11
~ Ana compró con 108 soles 3 litros
más de los que pensó comprar, pues
la oferla indicaba que 1/4 de docena
costaba 9 soles menos. ¿Cuántos Iibroscompró?
RESOLUCiÓN:
Pensó comprar: “J(” libros
Compró: “x+3″ libros
Dato:
3 libros costaba 9 soles menos
Entonces, 1 costaba 3 soles menos.
Luego:
1 libro llibro
108 _ 108 =3
x x+3
Desarrollando: x = 9
:. Compró:9+3=12Iibros
~ Si la suma de 20 números naturales
consecutivos es M, entonces la suma
de los 20 números siguientes es:
RESOLUCiÓN:
20 números 20 números
r~ ~A ,¡——–Jo… ~
0+0+0+ ……………….. · ………………..
+1 +1
suma = M
I
11
suma =??
t
+1 x202 (Teorla)
¡ ¡
Razón # de términos
del grupo
La suma de los 20 números siguientes
es: M + 400
@ Hace 4 años la edad de Juan era los
2/3 de la edad de Rosa y dentro de 8
años será los 5/6. ¿Cuál es la edad
de Rosa?
RESOLUCiÓN:
12
~
Pas/ado~ -Ahora~ -‘Fu”tu ro
Juan~ 2n 2n:;:¡’ r–sn
Rosa: 3-n —3n-+4 —6n 3n
Apreciamos que:
3n=12
n=4
:. Edad de Rosa: 3(4)+4 = 16
® En el gráfico ABCD es un trapecio, si
AP+PB = 30, Y 3AB = 5CD. Calcular
CP+PD. ~
A~B
RESOLUCiÓN:
3k
A~~——–~B
5k
Por el dato: 5m+5p = 30 ~ m+p = 6
Luego: 3p+3m = 3(p+m)
3p+3m = 3(6) = 18
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@ En una fábrica la producción diaria
de pantalones es inferior a 120 unidades.
Cierto dla se recogió tal canlidad
de pantalones que al contarlos
de4a4sobraron2, de5en 5 sobró 1
yde 7 en 7 sobró también 1. Lacantidad
de pantalones recogidos ese dla
fue:
RESOLUCiÓN:
N” pantalones < 120 Por dato: N" pantalones = 4+2 N·panlalones=~+1 }(7X5)+1 =35+1 J N" panlalones =7+1 .. 36,71,106 : _ N" pantalones = 106 @ Calcular el área de la región sombreada, si: R, = 6cm, R2= 2cm, R3= 4cm. RESOLUCiÓN: Nos piden: "M+N+P" Luego: 4ncm2 -.' ~=::~~~3)+ ~=167tCm2 M+N+P+47tcm2+47tcm2 = = 567tcm2 @ Hallar la ecuación dela recta que es perpendicular a L, cuya ecuación es: 3x-4y-l = O y además pasa por el punto (1 ;3) RESOLUCiÓN: L,:3x-4y=11 3 11 y=-x-- 4 4 3 Pendiente de L,: 4 Luego la pendiente de Les: -4/3 (por L, ...l L) Punto de paso: (1; 3) Entonces la ecuación de la recta L será: y-3 4 --=- x-l 3 :. L: 4x+3y-13 = O @ Si: 3x+2y+z = O x+z Calcular: -- z-y RESOLUCiÓN: Sumando a ambos números "2z" tendremos: 3x+2y+z+2z = 0+2z 3x+3z= 2z-2y 3(x+z) = 2(z-y) x+z 2 --=- z-y 3 @ Dos nadadores parten al mismo tiempo de extremos opuestos de una piscina de 90m de longitud con rapidez de 3 y 2 mis respectivamente. Cruzan la piscina varias veces durante 12 mino Suponiendo que no pierden tiempo al voltear, ¿el número de veces que se han encontrado es? RESOLUCiÓN: 90m El tiempo para el primer encuentro 90 es: 3+2 = 18s Continúan ~~ El tiempo para el segundo encuen- 180 tro es: 3+2 = 36s Se deduce que a partir del primer encuentro, los encuentros se producirán cada 36 s. Luego: 12 min = 720s 720 s-18 s = 702 s 702~ L Por el prlmerancuentro 18 19 encuentros más Entonces el número de veces que se han encontrado es: 20. @Lih=(n-l)2,hallar"X"en: ,A64,si:xeZ+ RESOLUCiÓN: A64=82=(9-1)2=~ ,&=9=32=(4-1)2= z55, &=2=22=(3-1)2= zt _-_ x=3 @WSi:a#b=t a2~:5b j b-1; Va"O hallar: 5#[5#{5#{5# ........ )}] RESOLUCiÓN: #b a 2 b+35b =-ª-+l§.. a 4a 4 20 Observamos que la regla de definición sólo depende del ler. elemento (a). 5 35 ~5#5=-+-=3 4 20 :. 5#[5#{5#(5# ..... )}] = 3 @ Indicar el vigésimo quinto término de la siguiente sucesión: 4, 10, 16,22,28, ..................... . RESOLUCiÓN: Es una PA de razón r=6 :. t,=6n-2 luego: t25 = 6(25)-2 = 148 @Si:X+~=3 Calcular: x3 + ...t, x RESOLUCiÓN: Elevando al cubo el dato: [x+ :]'= (3)3 X3+3X . ....!..rX+....!..J +_1_= 27 x l x x3 '----y-----' 3 x3+9+_1_= 27 .. x3+ _1_= 18 x3 x3 @ Si tuviera 2 veces más de lo que tengo tendría 1 vez más de lo que perdí. ¿Cuánto tenia, si perdIS/.30? RESOLUCiÓN: Tengo: S/.n, pardl: 5/.30 ~tenía: n+30 tuviera: 3n = 2x30 ~ n = 20 :. Tenía: 20+30 = 50 @ Hallarel número que falta en: d:E ;12W;13M;14[2O] RESOLUCiÓN: Buscamos la ley de formación y observamos que esta es: !'~2m) !2~6[!J)(L~~~)' ;:~2~1.8) www.Matematica1.com @ Hallar el área máxima del triángulo que puede ser inscrito en un semicírculo cuyo radio es "R". RESOLUCiÓN: El área sería máxima cuando la altura sea la mayor posible. Esto sucede cuando toma el valor del radio: ~ \. v~---' 2R :, SmOx. = R2 @ Hallar el ángulo "C" en función de los ángulos "A" y "B" (la figura la componen tres cuadrados iguales). I~ RESOLUCiÓN: ~1AB11 11 ~ ~ ~ A=- B=- C=45- .... 2 2,/ T A+B=~=~L' ____ ~ @¿Cuántoscuboshay? RESOLUCiÓN: 1 2 345 2 3 4 5 Número de cubos = 5x5x4 + 4x4x3+ 3x3x2 + 2x2x1 = 170 Respuesta: Hay 170 cubos @ A partir de la figura, el área de la región sombreada es: (AB es base media). RESOLUCiÓN: Trabajando: A=n>V3
4
@ Un automóvil de 4 m de longitud viaja
con rapidez “v” por una pista paralela
a la vía del tren. A 150 m de
distancia viaja un tren de 46 m de
longitud que se desplaza en la misma
dirección del auto con una rapidez
de 20 mis. Hallar la rapidez del
auto, si logra pasar al tren, luego de
20s.
RESOLUCiÓN:
Tren 20m/s -‘.rlrer.t. “.TlTer.ll ~
I I
! !
! ! e)
; ;~
4m 150m 46m
Lo pasó en 20 s
20 = 4+~~~:6 ~ V = 30 mis
~ Calcular el área de la región sombreada,
si el área del paralelogramo
ABCD es 120 u2. ,!SE{
RESOLUCiÓN:
AI.C._~!….Iiiíi~
12S=120u2
S=10u2
,-, 4S=40u2
@ La figura muestra un cuadrado de
lado “L”. Hallar el área de la región
sombreada, si M y N son puntos
medios.
:~’
A D
RESOLUCiÓN:
@ Dos ciclistas parten simultáneamente
al encuentro, el uno del otro, con
rapidez que están en la relación de 4
a 3 y se encuentran cuando el más
veloz ha recorrido 60 km más que el
otro. Calcular el espacio recorrido por
el más lento hasta el momento del
encuentro?
RESOLUCiÓN:
SeanAyBlosciclistas: ~: = ~
En el mismo tiempo “A” recorre como
4 espacios mientras que B recorre
como 3 espacios.
~.~
Porcondición:4e-3e=60 ~ e=60
Luego, el más lento recorrió:
3(60km) = 180km
@ Encontrar el área de la región sombreada,
si los 3 círculos son iguales y
de radio “R”.
RESOLUCiÓN:
Area=~-2~
= “R2 -2 [ ,,:2 J . -. Área = ,,:2
@ Una persona con el dinero que tiene
puede comprar 30 manzanas y 24
naranjas o 25 manzanas y 32 naranjas.
Si compra sólo naranjas, ¿cuántas
podrá comprar?
RESOLUCiÓN:
~30M y 24N
1-5MI JI+8NI
25M y 32N
_’_5M<>8N JX6
30M <>48N
luego si sólo compra naranjas:
30M y 24N
‘–y-‘
48N + 24N = 72N
@se tiene una mezcla al 60% de alcohol.
Si quisiéramos que la mezcla sea
al 50% de alcohol, ¿qué porcentaje
de agua deberíamos agregar respecto
al total inicial?
RESOLUCiÓN:
Asumamos que el total inicial sea 10
xlitros H20
~::o
OH: 60%
~H20:50%
~OH:50%
OH: 50%
www.Matematica1.com
Nos piden:
120 x100% = 20%
@ Si la base de un triángulo aumenta
en un 20% y su altura disminuye en
un 20%, ¿en qué porcentaje varia su
área?
RESOLUCiÓN:
1
~=2bxh
El área depende de la base y de la altura
mas no de la constante l1..
b h A
Inicio: (10 X(10 = 10)
+20% -20% -4%
Final: 12 x 8 = 96
:, Disminuye4%
@ Si la ganancia repres~nta e125~ del
precio de costo, ¿que porcentaje representaria
esta ganancia respecto
del precio de venta?
RESOLUCiÓN:
Del problema:
P.c. ~:.: 51 G = 1 I
25% P.C.
Nos piden:
–º- xl00% = ~xl00% = 20% Py 5
@ En una competencia participaron
hombres y mujeres. Ocho mujeres
salieron de la competencia, quedando
en ellas 2 hombres por cada mujer.
Luego se retiran 20 hombres
quedando 3 mujeres por cada hombre.
¿Con cuántas personas se inició
la competencia?
RESOLUCiÓN:
Hombres
a
• a
• a-20
Luego:
a=2(b-8)
b-8 = 3(a-20)
Mujeres
b
b-8
b-8
:. a=24 b=20
~ 24+20=44
@ Calcular el valor de: “x+y”
“V’4x+l-“V’3y-2= 1
“V’x+14+”V’y+2=6
RESOLUCiÓN:
Buscamos valores adecuados para
que las cantidades bajos los radicales
tengan rarz exacta.
Asi, para x = 2 Y Y = 2 se cumplen
las igualdades.
Nos piden x+y = 2+2 = 4
@ Se tiene 4 docenas de rosas repartidas
en 3 montones diferentes. Del
primer montón se pasó al segundo
tanta rosas como hay en éste, luego,
del segundo se pasó al tercero tantas
flores como habla en ese tercero,
y por último se pasó del tercero al primero
tantas cosas como aún quedaba
en ese primer montón. Si ahora
los 3 montones tienen cantidades
iguales, ¿cuántas rosas habra
al principio?
RESOLUCiÓN:
De los datos:
1° 2° 3°
Al inicio: [El + [El + @] = 48 = 4(12)
‘+1(1×2
[IJ+~
+12 1×2
[IJ + [ill + í24l 1 Comp ……
~ losvaloresdel lx12 +8 ftnalal ilicio
Al final: [ill + [ill + [ill = 48
:. ler. 22; 2do.: 14y3ro.12
@ Calcular el área del pentágono cuyos
vértices son los puntos de coordenadas
A(-5,-2), B(-2,5); C(2,7),
D(5,I)yE(2,-4)
RESOLUCiÓN:
_-I-_I—-,f-+D(5;1 )
Hallando el área por determinante:
(1~ :~¡)
+ 3
2
5 2 +
-20
20 -4
71 -61
Are 171-(-61)1 = 132 = 66u’ :. a 2 2
@unovillopesal71kg, más los ~
de los -5 de – 6 de su peso ¿ Cu a• n-
7 11
to pesa el ovillo en kilogramos?
RESOLUCiÓN:
Por condición del problema tendremos:
2 5 6
Peso del ovillo: 171 + 3 x 7 x 11
(peso del ovillo)
Resolviendo: 231 kg.
~ Daniel y Betty comparaban sus soluciones
a un problema de la tarea
asignada. El problema era: “Hallar
la ecuación de la recta que pasa por
los puntos (2;-5) y (8;7)”. Daniel halló:
y = 2x-9 Y Betty encontró: y-7 = –
2(8-x). Hallar la ecuación e indicar
quién tenra la respuesta correcta.
R~S~LUCIÓN: 2ixl(8; 7)
A. (2, -5) (x; y)
B: (8; 7) A (2; -5)
y-(-5) _ 7-(-5)
x-2 —-¡j:2
y+5 = 2(x-2) ~ L: 2x-y-9 = O
Comparando:
y = 2x-9 (Sol. de Daniel) ~ Correcta
y-7 = -2(8-x) (Sol. de Betty) ~ Correcta
Los dos tienen la respuesta correcta
~ Una persona demora en I!egar a un
pueblo hacia su casa 4 dlas. El pnmer
dla recorre el 20% del camino,
más 100m. El segundo dra recorre la
cuarta parte del resto, más 125m. El
último dla recorre el 25% del dra anterior.
Hallar el recorrido total si el tercerdla
avanzó 800m.
RESOLUCiÓN:
5xm
1 ero Día ~,~ 3er. Día 4to. Día
‘;;:100′ x+25+125 ‘ailil’ ‘2ilil’
~ : ~~~~~J
Planteamos:
5x = x+l00+x-25+125+800+200
x=400
Luego el recorrido total es:
5(400) = 2000 m
@Sielsistemadeengranajes:
70d
funciona 1 minuto ¿en qué relación
estará el número de vueltas de “A” a
“F”?
N’D
‘–y–‘
A:20
B:30
C:50
N’V N’D
‘–y–‘ ‘–y–‘
15 D:70
;~ y E: 30 ®”” F:20
N’V ®
14
21
• Como C y D están unidos mediante
un eje; dan la misma cantidad de
vueltas. Luego establecemos:
N’VA=15=5
N’VF 21 7
@calcular el término de lugar 10 en la
P.G. siguiente:
4,6,9,27/2, ………… .
RESOLUCiÓN:
Acomodamos cada término de acuerdo
a la posición:
1° 2° 3° ~ …………. 10°
2:30 2:31 2~3′ 2:3 ……… r2~ 2-120 2′ 2′ L… : !.8. .. J
. –ª’- 19683
•• 128 =~
@Si un arco de 60′ sobre un circulo I
tiene la misma longitud que un arco
de 45′ sobre un circulo 11, entonces la
razón del área del circulo I a la del circulo
11 es:
RESOLUCiÓN:
www.Matematica1.com
(1)
\~..~.J(J3a )
Del dato:
~(a) =~(b)
3 3
~a=3
b=4
(11)
~~(b)
~4
A, = 7«3)2 _–ªA”
7«4)2 – 16
@ ¿Qué ángulo forman las manecillas
de un reloj a las 9h:60?
RESOLUCION:
Las9hI60·1 …… 1 hson las 10 horas
El (3tv0B
BOL OH:4BL + BOL OH:4&. _36
AG:32L AG:32L 40% -> (2) -> 72
‘LA__G___:4__0__L__ L)(3J6 ‘
se observa: x = 60 L
@Si:
&=(x-1)2+n
Efectuar: A
&-~ M=—-
x
RESOLUCION:
A=((X+2}-1)2+n
Luego:
[(X-1)2 +n]-[(x+1)2 +n]
M= x
X2 -2x+1 +n-[x2 +2x+1 +n]
M= x
= -4x =-4
x
.’. M =-4
@ Se tienen 4 velas de igual longitud y
calidad. Cada vela se prende 20 minutos
después de la anterior. La primera
vela se consumió totalmente
cuando la cuarta se había consumido
en su tercera parte. En ese instante,
¿en qué relación se encuentran
las longitudes de las otras dos?
RESOLUCION:
1· 2· 3· 4·
20′ 20′ ~20¡’ ~’f
20′ t ~{ SO’
20′(
“”
¡ ¡ ¡
lK 2K 3K
Tiempototal: t+60′
El tiempo de consumo es para todos
por que son de la misma calidad.
2· 1
3· 2
:. 1: 2
@ El perlmetro de un velódromo es de
750 m. Si recorrió 10 km. ¿cuántas
vueltas completas ha efectuado y
en qué posición del punto de partida
se detuvo?
RESOLUCION:
o 1 vuelta = 750 m
2 vueltas = 1500 m
Enl0m<>10000m
habrá: 9750 m + 250 m <> 13v+250
Habrá 13v+250 m del punto de partida.
:. A250 m del punto de partida.
@ En un campeonato de fútbol participan
8 equipos. Si en cada partido se
disputan 2 puntos y todos juegan
contra todos. ¿Cuál fue el máximo
número de partidos empatados si el
campeón absoluto resultó con 8
puntos?
RESOLUCION:
Como son 8 equipos. cada equipo
debe jugar 7 partidos. como nos piden
el máximo número de partidos
empatados. supongamos que todos
los partidos de cada equipo son
empatados. en conclusión. obtendría
7 puntos. Pero el campeón absoluto
obtuvo 8 puntos. es decir.
que de sus 7 partidos. tuvo que ganar
1 partido.
Sabemos:
N· de partidos= 8;7 = 28
:. N· partidos empatados = 28-1 = 27
@ Dos autos parten simultáneamente
en sentidos opuestos. el primero
viaja 5 kmlh más rápido que el segundo.
Después de 8 horas se encuentran
separados 360 km. ¿Cuál
es la rapidez del primer auto?
RESOLUCION:
V kmIh ah ah (V+5)kmIh
~~
I–e —1
1—-360 km ——1
Del gráfico se tiene:
e=(v+5)8
Además:
360-e= vx8
~ 360 = 8v+40+8v
v=20kmlh
:. v+5=25kmlh
@ Una tela al lavarse. se encoge e110%
en el ancho y el 20% en el largo. Si se
sabe que la tela tiene 2m de ancho.
¿qué longitud debe comprarse si se
necesitan 36 m2 de tela después de
lavada?
RESOLUCION:
10x 8
EJ.l.8ml ~21
Luego:
10
36 = 1.8(8x) ~x= 4
:.Iongitud: 10 [~O} 25 m
@ Hallar el área del triángulo que forman
las rectas:
L,:y=x+2
L2:y=-x+2
L3:Y= 1
En el plano cartesiano
RESOLUCION:
L2:y=x+2
{
Y=-X+2 ‘””” x=o
L,nL2 y=x+2 …..,.., y=2
{
Y=-X+2 ‘””” x= 1
L,nL. y=1 ‘-V y=1
(0:2)
(1 :1)
L ,n L {Y=X+2 ‘””” x=-1 (-1;1) 2 y=1 “”””‘y=1
2~~X~~0 + -1 -1~1 1 +
O O 2 2
– –
1 -1
11-(-1)1
Luego’ S = — = 1 u2
. 2
@ ¿Cuántos cuadriláteros hay?
cE§:n
RESOLUCION:
rm-I ~ r~·131 .. mi
L____ _ ___ .1
www.Matematica1.com
Podemos contar:
3×4 2×3 .
-2- x -2- = 18 cuadnláteros
r··m1
r—l—- ..•.. ! 3 —-rO-O!
L ____ .L____ _ ___ .L ___ …
Los cuadriláteros a contar son:
(1). (12). (123)
~
3 cuadriléteros
r··r·~·h·!
Los cuadriláteros a contar son:
(1). (12). (123). (1234). (12345)
(5). (45). (345). (2345)
~ ~
9 cuadriláteros
Entonces:
Total de cuadriláteros = 18+3+9 = 30
@ Un libro se empieza a enumerar des·
de su primera página y se nota que
58 números comienzan con la cifra.
¿Cuántos números escritos terminan
con la cifra 7?
RESOLUCION:
Oel dato sabemos que hay:
58 números que empiezan con la cifra 7
1-, .-… -7, -….-. , -70-, ..-.. ,- 79~, .-….- , 7-00-, -70-1, -….-. ~
y ‘—-y–J ‘—-y—-‘
un número 10 números 47 números
Ahora escribimos los números que
terminan en 7.
, ~–~,
7.17.27.37 ……………… 737
‘—-~v~—-‘
737-7+10
Tenemos: 10 74
@ Una rueda “A” de 50 dientes engrana
con otra “B” de 25 dientes. a su vez.
fijo al eje de B hay una rueda “C” de
15 dientes que engrana con una rue·
da “O” de 25 dientes. Si la rueda “””
da 120 R.P.M .• ¿cuánto tiempo de·
mora la rueda “O” en dar 1440 revo·
luciones?
RESOLUCION:
av av
~ 1202×2= 1xa~a=240
~ax3=bx5
240×3=bx5~b=144
Para la rueda “O”:
10 (
1′ –144vueltas )
x 10′ –1440vueltas x10
Se demora 10 minutos.
@ Hallar la pendiente y el ángulo de in·
clinación de la recta que contiene al
par de puntosA(-8;-4) y B(5;9)
RESOLUCION:
Calculando la pendiente:
(-4)·(9) -13
m – (.8).(5) – .13 = 1
Además:
m=tg6=1 ~6=45′
:. m=1;6=45′
@ En la figura. cada línea representa
un camino. ¿Oe cuántas maneras
distintas se puede irde la ciudad 1 a
la ciudad 20?
~ …….. @
RESOLUCION:
~ …….. ®
t t
3 cludtIu3~n… Pnlfilgllrall
MIIneru anBiIl8l pueden + ciud.cl20
penw.¡Itne con 1116 II!Jndrlflll’101:
mIIn … lndlCldu 3K6)(9)( ….. x57 maneras
~ 311{1x2x3x’H 19) ITII!Ineru
~311(191)lTIInlillll
:. #maneras=319 (19!)
@ En una progresión aritmética creciente
de 20 ténminos. el primertérmino
es 2. Si la suma de los 20 términosesS10.
hallarla razón.
RESOLUCION:
1° 2° 3° …….. 20°
2. O O …… ·.~
S=t
2
;X}0=S10 -+x=59
l’ 2′ 3· ……. 19· 20′
2. O 0 …… ·0 .59
~ ~ ~
r r r
~
2+19r=59
:. r=3
@ Una ficha cuyas caras están marcadas
con los números 3 y 4 respectivamente
es lanzada 5 veces. ¿Cuál
es la probabilidad de obtener un total
de 17?
RESOLUCION:
# casos totales: 2″ = 32
# casos a favor: 10
.L. 2° 30 4° 5°
:I :I :I :I =I } ~:;2)= ~ 3!x2! = 10
:. P(suma en total sea 17) = ~~ = 1
5
S
@ En una reunión. el 40% son hombres
y el resto son mujeres. Oespués
ingresan 70 hombres y salen
20 mujeres. entonces el número de
hombres es el SO% del nuevo total.
¿Qué porcentaje del nuevo total de
damas son las personas que ingresaron
después?
RESOLUCION:
Antes Tolal: 100K Después
‘H:40K’….!Z4 ’40K+70′
M: SOK ~ SOK-20
Nuevototal; 100K+50
Por condición:
~SO%
:~~+70= l.iJ(100K+50)
Luego:
Ahora: H: 150
M: 100
rnuevototal de mujeres
Nos piden: –“– (1 00) = 70
……–100
Que%de …..
x=70
:. El porcentaje es 70%
@ En una suma hay esferas de color rojo.
azul y blanco. Las rojas son eISO%
de las blancas y las azules son el
25% del número de rojas y blancas
juntas.
Respecto del total. ¿qué porcentaje
representan las esferas azules. rojas
y blancas respectivamente?
RESOLUCION:
Asumiendo que las blancas sean 10
tendremos por las condiciones del
problema:
Luego:
Total: 20 esferas
Entonces: Rojos: :0 x100% = 30%
Blancas: ~~ x100% = 50%
Azules: 2~ x100% = 20%
@ Oe un juego nonmal de naipes (casinos).
¿cuál es la probabilidad de obtener
un “AS” al extraer una carta?
RESOLUCION:
La baraja tiene 52 cartas de las cuales4
son ases; luego:
4 1
P(As) = 52 = 13
@con 5 kg de arena pueden construirse
3 cubos de 10 cm de arista ¿ Cuántos
cubos de 5 cm de arista pueden
construirse. con 10 kg de arena?
RESOLUCION:
~~
# kgArena # Cubos Volumen
I 5 1+ 3 I X I 103
10 + x X 53
_5 __ ~
3(10)3 – X(5)3 :. x = 48
@ En el gráfico mostrado BO = 5 Y m «
OBC = S’ entoncesAC es:
~ A D e
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RESOLUCiÓN:
En el gráfico. trazamos la mediana
BMeneIAABAs.
~ A M D C
I • I
“” AM=MB=MC=BD=5
:. AC =AM+MC= 5+5= 10
@ Indicar cuales de los siguientes
enunciados son verdaderos:
1. La suma de dos números triangulares
siempre es un número triangular.
11. La sucesión de Fibonacci es:
1.2.3.6.11.20.37 •……
111. En la sucesión 12. 19.26.33 •… el
término de lugar 20 es 145.
RESOLUCiÓN:
1. Números triangulares: 1; 3; 6; 10;
15; ….
Suma de 2 términos cualesquiera
1+3= [lJ
“” No es un número triangular.
El enunciado I es Falso.
11. Sucesión de Fibonacci: 1.1.2.3.
5.8 …… .
El enunciado 11 es Falso.
111.12;19;26;33; …… .
t,=7n+5sin=20
“” t20=7(20)+5=145
El enunciado es Verdadero.
@JuancercósUjardinYlacercaformó
un cuadrado en el que habían 15
postes en cada lado. ¿Cuántos postes
utilizó?
RESOLUCiÓN:
Luego:
N” de postes utilizados:
15+25+13+13 = 56
@ El lío del hijo de la única hermana de
mi padre. ¿qué parentesco tiene
conmigo?
RESOLUCiÓN:
Del problema. planteamos el siguiente
esquema:
MI PADRE
UNICA HERMANA
DEMI PADRE
r1~~ ~
Y{O 7~”~úO SU{H7IJ O
~ 8
iíIíI :.EsmiPadre …
@Hace 10 anos tenia la mitad de la
edad que tendré dentro de 8 anos.
Si tú naciste cuando yo tenra 15
años. ¿cuál será la suma de nuestras
edades cuando yo tenga el doble
de la edad que tuve hace 11
años?
RESOLUCiÓN:
1
x-lO = 2″ (x+8) “” x = 28 (Actualmente
tengo esta edad)
Hace 13 años tuve 15 años y tú naciste
cuando yo tenía esa edad; luego
tu edad y la mía se diferencian
en 15 anos. Hace 11 anos tuve 17
anos. el doble de esto en 34 anos.
entonces:
Ahora
Yo (28
Tu -15 13
Cuando tenga:
2(28-11)=34)_15
19
Suma=¿?
:. Suma=53años
~ Se tienen 2 barriles con vino de diferente
calidad. El primero contiene
20 L Y el otro 30 L. Se saca de cada
barril la misma cantidad y se echa
en el primero lo que se sacó del segundo
y viceversa. ¿Qué cantidad
de vino ha pasado de un barril a otro
si el contenido de los dos resultó de
la misma calidad?
RESOLUCiÓN:
“x”L “x”l
~
20 L
C,
30L
C2
~ ~ [~Q
Denotemos:
C:calidad
Para que tenga la misma calidad las
dos mezclas deben estar en la misma
proporción. es decir:
20-x = _x_ “” x = 12 t
x 30-x
@ Mi abuelo nació el siglo XIX y en
1887 cumplió tantos años como la
suma de las cifras del año de su nacimiento.
Yo naci exactamente 100
anos después del ano de su nacimiento.
¿Cuántos anos cumplí el
ano 1995?
RESOLUCiÓN:
Monacimienlo ’18 b 0 del abuelo . a + (a+b+9)
Ano de Referencia: 1887
“” 18ab+a+b+9 = 1887
lla+2b=87
Resolviendo: a = 7. b = 5
Luego: el abuelo nació en 1875. entonces
yo nací el año 1975.
En 1995 cumplí 20 anos
@SeSabeqUedehOya5anos.”A”Será
tan viejo como lo es hoy “B”. quien tiene
la cuarta parte de la edad que tendrá
OC” en ese entonces. Hallar la suma
de las edades de los tres dentro
de 10 años. si además OC” es mayor
que”B”en 16años.
RESOLUCiÓN:
~ t:!QX Fut. EY1.
A: x-5 x x+5
B: x x+5 x+l0
C:x+16 X 4x x+26
‘——-y——
sumaanaspa
x+4x= x+16+x+5
Suma:3x+41
x=7
Suma = 3(7)+41 = 62
@ ¿Qué hora marca el reloj mostrado
en la figura? 12
11 1
7
RESOLUCiÓN:
6
3
Supongamos que la hora es: 9:n’
12
9
s
“”a=6n-120 .a=t~r
Luego:
n 9
6n-120 =- “” n = 21-
2 11
• 9′
•• 9:21-;¡;¡-
3
@ Un par de conejos siempre da crla;
una vez al mes dos conejitos (un macho
y una hembra). Al cabo de dos
meses de nacimiento estos conejitos
comienzan a tener erras. ¿Cuántos
conejos habrá al cabo de tres meses.
si al comienzo había un par de conejos?
RESOLUCiÓN:
Inicio: Gr fJ Padres: … 2
,.a{,dl!\i … 2
,.a{ I ~I!\ Tolal:l0
… 2
1 mes{GrfJ Gr~ … 4
:. 10 conejos
@ Hallar la ecuación de la recta L que
pasa por el punto (-2;3) y es perpendicular
a la recta: 2x-3y+6 = O
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RESOLUCiÓN:
L,
m,=7?\
(-2;3)
2
m’=3\
=—‘tL-_-. L,: 2x-3y+6=0
Recordando: L’ … I mL1xm~=-11
L,
2 3
mLl’3=-1 ~mC,=-2
Luego:
3
L2: y-3 = -2(x+2)
L2: 3x+2y= O
@ En la figura, si el triángulo tiene base
“b” y altura “h”¡ entonces .x” es:
M–2x–+l
RESOLUCiÓN:
B
~, ~~ A l. b uC
Se observa que el triángulo ABC es
semejante al triángulo MBN, entonces:
–“- _ h-x
b – 2x
Desarrollando:
bh
x = 2h+b
@ Hallar el valor de x en:
6 5 9
78 8 6~7 58 3
RESOLUCiÓN:
6 5
:+~8 ~~7 2~=3 1~9
:. x=8
4iiO’ Si: x = a+b ; y = a-b
~ ab ab
RESOLUCiÓN:
9
5 ~ 3
9+5+3=17
1:;:’=8
x+y
Hallar: -x-
y
x+ya+=b –a–b- -=2a- =2-
ab ab abb
a+b a-b 2a 2
x-y = ail- ail = ab = a
2
x+y b a
Luego: x-y = 2 = b
a
@ Al vender un objeto ganando el
32% del costo, se ganó 240 soles
más que si se hubiera vendido
ganando solo el 12% del costo.
¿Cuánto cos-tó el objeto?
RESOLUCiÓN:
Ganancia
1 Pc 1 32% Pc 1 En total 132% Pc
Ganancia
1 Pc 112% Pc 1 En total 112% Pc
132% Pc-112%Pc=240
20% Pc = 240
~ Pc = 1200 soles
@ La edad en años de una tortuga es
mayor en 20 que el cuadrado de un
número “n” y menor en S que el cuadrado
del número siguiente a “n°.
¿Cuántos años tiene la tortuga?
RESOLUCiÓN:
Edad de la torbJg’
n2 (n2+20) (n+1)2
‘—-‘” ‘—-‘” 20 5
Donde: n2+2+S= (n+1)2~ n = 12
~ Edad de la tortuga = 122 +20
=164
@ Si una persona compra 40 naranjas
a 5/.2 cada una, vende 20 ganando
S/.1,S en cada una y las restantes
las vende al precio de costo. ¿Qué
tanto por ciento está ganando?
RESOLUCiÓN:
Costo total: 40(2) = 5/.80
l. Vende: 20 ganando en cada una:
1,S ~ Venta: 20(2+1 ,S)= 5/.70
11. Vende: 20(2) = 5/.40
Luego:
Venta total: 70+40 = 5/.11 O
~ Se gana: 110-80 = 5/.30
• 30 x100%=37 S%
.. 80 ‘
@ Si el lado de un cuadrado aumenta
en un 30% ¿en qué porcentaje aumenta
su área?
10 13
‘0191″‘3181 10
~
:. 1
6
:0 x100% = 69%
@Si:XY=6
yz=8
xz=3
Entonceselvalorde ~ es:
RESOLUCiÓN:
Multiplicando miembro a miembro:
(xy)(yz)(xz) = 6(8)(3)
(xyz)= 144
xyz=12~ ~ =6
@ A qué hora entre las 4 y las S el ángulo
intemo y el ángulo extemo formado
por las manecillas del reloj están
en la relación de 10 a 26. Antes
que el minutero pase al horario.
RESOLUCiÓN:
Hora: 4:n’ 12
.”.-¡–…
9+-+-~f—-+
6
a=120+~-6n
2
e = 240-~+6n
2
Luego:
120+ -%–6n
6n+240-~
2
10
26
7′
:.4:311
@ Del siguiente cuadrado cuyo lado es
“a” detenminar el área de la región
sombreada.
RESOLUCiÓN:
B .——:::11 e
AIL..—“:::::’ O
En el Ll.ABC, “G” baricentro luego:
65 = .1.[a2]
4
. a2
.. 25=12
~ ¿Qué ángulos fonman las agujas de
un reloj cuando sea las S: 1 O?
RESOLUCiÓN:
q a = 3(30)+S = 9So
Otrafonma:
Como el horario adelanta al minutero,
aplicaremos la siguiente relación:
• H = S
•• m = 10
a = 30(S}- ~ (10) = 9So
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@HallareISigUientetérminoen:
AZ., CX, EV, GT, ………. .
RESOLUCiÓN:
Observando las primeras letras de
cada término, tenemos:
y W U S
AZ~~~~ ~~-…..J~
B D F H
:. Respuesta: IR
@ Un peatón recorre 23km en 7 horas,
los 8 primeros km con una rapidez
superior en 1 kmlh a la rapidez del
resto del recorrido. Calcular la rapidez
con que recorrió el primer tramo.
RESOLUCiÓN:
I 7 horas —–i
¡IV- —- ; ~
1– a km—l
1—15 km—l
t, b
‘””r ‘””r
8 15
-Y+v_1=7
Resolviendo: v = 4 kmlh
® Encontrar el valor numérico de T, si:
a b a+b
x=-+- y=–
b a a-b
T = (X-2){y2 -1 )
RESOLUCiÓN:
a b a2+b2
x=-+-=–
b a ab
a2 +b2
~x-2= –2
ab
a2+b2-2ab _ {a-b)2
ab – ab
y2_1 = (y+1){y-1)
t:~: +~t:~: -1J =t;-~X;-~J
4ab
=
{a-b)2
:. T = (X-2){y2-1) = {a-b)2 x_4_ab = 4
ab (a-b)2
@ Un alumno desea calcular la distancia
entre su casa y el colegio yobserva
que si camina a razón de 6 mis
tarda 4s más que caminando a 8 mis
¿Cuál es la distancia?
RESOLUCiÓN: .,l,
.lli,.V1 :6m1S t1 ..&..
.m~g[Ij
Casa ~colegio
V2 : amls
d d
6-8=4~d = 96m
@ El gráfico muestra la distribución de
los gastos de un país. Si del sector
de educación, el 25% corresponde a
infraestructura educativa, ¿cuántos
grados corresponde al sector “infraestructura
educativa”?
IfEd _25 x 40_…!Q.._ •
n. uc·- 100 100 – 100 -10%.
luego:
100% —- 360%
10% 36%
Le corresponderán 36″
@ Un esquilador calculó que si hacia
10 km por hora, llegarla al sitio designado
una hora después del mediodía,
si la rapidez era de 15 km
por hora, llegaría una hora antes del
mediodía.
¿Aqué rapidez debe correr para llegar
al sitio exactamente al mediodla?
RESOLUCiÓN:
0 10 ‘::’ _ …..:.t+:,.1:….-__ 1 pm
-dO
km 15,, __ –=t–:’1 __ 11 am
-dd
= 10{t+1) = vi = 15{t-1)
L:::. t = 5 .::J
Luego: 10{5+1) = 5V ~ V = 12 km
h
@ Se desea empapelar las paredes
de una sala rectangular de 15m de
largo, 6m de ancho y 5m de altura.
La sala tiene 4 ventanas de 1 ,5m
por 2m. ¿Cuántas piezas de papel
colomural de 10m por 60cm cada
una deberán comprarse?
5m
15m
A”””, = 2(5){6)+2{15){5) = 210 m2
AIDIa’=4{1,5){2)= 12 m2(No … mpaPOI.)
Luego: Área a empapelar = 210-12
=198m2
Área de 1 pieza _ _ 2
de colomural – 1 O{O,6) – 6 m
Número de piezas de colomural
que deberán comprarse:
198
6m2 = 33 piezas
@ En un salón de 60 alumnos, el 30%
son hombres. ¿Cuántas mujeres
deberán retirarse para que los hombres
representen el 60% del nuevo
total?
RESOLUCiÓN:
H I M .hora:
Final 118. X I (n~evo ~~I)
60% 40% 40% = 60% => x=12
••• Deberán retirarse 42-12 = 30 mujeres
@ La edad de un padre sobrepasa en 5
años a la suma de las edades de sus
tres hijos. Dentro de 10 años, él tendrá
el doble de la edad del hijo mayor,
dentro de 20 años, tendrá el doble de
la edad del segundo, y dentro de 30
años, tendrá el doble de la edad del
tercero. Halle la edad del padre.
RESOLUCiÓN:
Dentro de Dentro de Dentro de
AoIWII .I.!l..IUll>l 2ll..IIJloI :llI..alIl!l
Padre: 2x 2x+10 2x+20
1er. Hijo: x-S “–“‘x+5
2do. Hijo: x-10 …—–… x+10
3er. Hijo: x-1S-Por
dato:
2x-{x-5+x-1 0+x-15) = 5
x=25
.” _ Edad del padre: 50 años
2x+30
–x+15
@ Un campeonato toca tantas campanadas
como horas indica. ¿Cuántas
campanadas tocará durante todo el
1 ero medio dla de hoy?
RESOLUCiÓN:
HORA …. t ~h~h ….. ~2h
Campanadas …. 1 c 2c 3c …… 12c
N” total de campanadas:
1+2+3+ …… +12= 12(13) =78
2
@A1 cajero de una compañía le falta 1/9
del dinero que se le confió. ¿Qué parte
de lo que le queda restituirá lo perdido?
RESOLUCiÓN:
Dinero que se le confió: 9K
Se le perdió: K
Lequedó:8K
Hay que restituir SI. K Y esto es 1/8
del dinero que le quedaba.
@Adunito compré objetos al precio de
S/.48 y S/.42 cada uno, pero no recuerda
cuántos compré de cada precio,
sólo recuerda que gastó S/.1542
y que el número de objetos de S/.48
era impar y no llegaba a 10.
Hallar la semidiferencia del número
de objetos de cada especie.
RESOLUCiÓN:
De S/.48 x objetos; “x” impar menor
que10.
De S/.42 y objetos
48x+42y = 1542 (gasto)
8x+7y = 257
x+ 7x+ 7y = 257 ~ x+ 7{x+y) = 257
(div) I I
x 5
T+{X?)=-ªl!+T .”.x=5
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y= 31
• 31-5 _ 13
•• 2 –
@ Jaime dice: “Hoy podré vender más
naranjas pues rebajé en 1 sol el precio
por docena, lo que significa que
el cliente recibirá una naranja más
porcada sol”. El nuevo precio de cada
naranja será de:
RESOLUCiÓN:
Disminuye SI. 1
~
Precio SI. X Precio SI. x-1
[12 Nar. [ [12 Nar. [
Naranjas que
vende por
SI. 1
‘—r—‘
12
Naranjas que recibe
el cliente por
SI. 1
• 12
X x-1
~~- 12=1 Resolvemos:x=4
x-1 X
El nuevo precio de cada naranja será:
:. 1
3
2 = S/.O,25
@ Para obtener 60 litros de alcohol de
60′, se ha mezclado 15 litros de alcohol
de 80′, 30 litros de alcohol de
70′ y una tercera mezcla de alcohol
con agua. Determinar el grado alcohólico
de la tercera mezcla.
RESOLUCiÓN:
OHI :~ I;HI ;,” !;HI ~ !;:r~II
15L 30L 15L 60L
~ x’ =–ª-x100′ = 20′
15
~ Un lapicero de tinta seca cuesta S/.8
y un lápiz S/.5. Se quiere gastar
exactamente S/.96 de manera de
poder adquirir la mayor cantidad posible
de artículos. ¿Cuál es el número
de lápices comprados?
RESOLUCiÓN:
Número de lapiceros: m
Número de lápices: n
Luego: 8m+5n = 96 (ecuaciOndioféntica)
desarrollando:
5n
m = 12-“”8; n: 8, 16, ……
Notamos que “n” no puede tomar el
valor de 24 porque tendríamos una
cantidad negativa. Entonces:
n=16ym=2
:. Son 16 lápices.
@ En la figura, hallar el área de la región
sombreada, si r = 5 m.
RESOLUCiÓN:
5m
A 5m 5m D
Enel~ABC:
m q C=53’/2
• A- 5×4 -10 2 .. – 2 – m
@ Hallar el área de la región sombreada,
si en la figura se muestra un
cuadrado. Además M y N son puntosmedios.
~’f N
RESOLUCiÓN:
Recordando:
~~1 2~ TOTAL 12 Total
BQC
~M
A N D
Soomb ….. = S(APN)-S(AQN)
Soomb”””‘. = 1~ (30′}- 2~ (30′)
• •• Ssombreada = 20 u2
® Hallar la diferencia entre el último
término negativo y el quinto término
positivo en:
-641, -628, -615, -602, …….
RESOLUCiÓN:
Hallando el término enésimo:
-648281802 ; ……
+13 +13 +13
~ t,=13n-654
Del término enésimo deducimos:
n =49, 50,51,52,53,54,55, ….
t,=-17.HJ, 9, 22, 35, 48,@J
:. t .. -t55= (-4)(61) =-65
@ Hallar el valor de “S”, sabiendo que
es máximo:
S =,?+402+4+396+6+390+ …. ”
v
“2n- sumandos
RESOLUCiÓN:
Observamos que la cantidad de sumandos
en ‘S’ es para ‘2n’ sumandos.
Entonces, sumamos en parejas,
y se obtiene:
S = 4+402+4+396+6+390+ ….. +
“——-‘ “——-‘ “——-‘
404 400 396
—–.;o —–.;o
-4 -4
+ 0 + 0 + 0 +0 ……
L—..J L—..J L—..J L—..J
,–,,8—–.;04 —.J’ —–.;0-4,–”
-4 -4 -4 -4 -4 ……
Como nos piden que ‘S’ sea máximo,
entonces tomando solo los valores
positivos:
S = ~04+400+396+ …. +8+4″
v
101 sumandos
= (404+4)101 = 20604
2
~ En un examen Carlos obtuvo 5 puntos
menos que Esteban, quien tuvo 2
puntos menos que Juan, cuyo puntaje
es igual a la semisuma de lo obtenido
por Esteban y Alberto. Si este último
obtuvo 12 puntos, ¿cuántos puntos
obtuvo Carlos?
RESOLUCiÓN:
Juan:x+7
Esteban: x+5
Carlos: x
Alberto: 12
x+5+12
Por condición: x+7 = 2
Resolviendo: x = 3
Luego:J:10 C:3
E:8 A:12
:” Carlos obtuvo 3 puntos
@ Hallar el área del cuadrado ABCD,
sabiendo que el área de la región
sombreada es 50 m2
‘~:
A N D
RESOLUCiÓN:
Suponiendo que el lado del cuadrado
es 4m. Obtenemos:
J~t 16m2 2.r
3m 1m
Reción Sombreada Cuadrado
Supuesto: 5m2
) x10 16m2
Real: 50m2 160m2
:. Área del cuadrado = 160m2
@AI unir los centros de las caras de un
cubo cuya arista mide 6m se forma un
sólido, entonces el volumen de este
último será:
RESOLUCiÓN:
Al hacer lo indicado se forman 2 piramides
de base cuadrada (el área de
la base es igual a la mitad del área de
una cara del cubo)
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Además la altura de la pirámide es
igual a la mitad de la longitud de una
arista del cubo. Luego:
[
Area XhJ
:. Volumen = 2 bas~
=2[[~lX3 ]=36m2
® Calcular “a”
80′
RESOLUCiÓN:
::::::> 0.+50° = 80°
.-.0.=30°
@ Una obra se pensaba hacer en 40
días con 60 operarios que laboren
6h/d. Sin embargo la obra aumenta
1/5 en magnitud y tiene que entregarse
8 dlas antes de lo previsto.
¿Cuántos obreros tendrán que duplicarsu
rendimiento?
RESOLUCiÓN:
Del problema:
~ (40)(60)(6) = 32(60+x)(6)
Resolviendo:
x = 30; es como si hubiéramos aumentado
en 30 obreros.
:. 30 obreros tendrán que duplicar
en rendimiento.
@ Un vendedor recarga el precio de
sus artlculos en un 25% de su valor.
¿Cuál es el porcentaje de descuento
que se puede hacer sin ganar ni perder?
RESOLUCiÓN:
1— P,: 125—1
I P.C. 100 125 I
~
Dcto.
Descuento máximo: 25
Porcentaje máximo de descuento:
25
125 X100%
• ‘. Porcentaje máximo de descuento=
20%
@Si(b.a)=a(a.b);a.b>O
Hallar: E = 24.3
RESOLUCiÓN:
(b.a)2
Del dato: a.b= — ……… (a)
a
(a.b)2
Ahora: b.a = -b- reemplazando
en (a)
[
(a.b)2J2
b (a.b)4
a*b = a :::::> a*b = ~
Operando:
a.b=~ab2
Luego:
24.3 = ~ 24.32 = 6
@ Si en el departamento tenemos 30
puntos en donde a lo más hay 2
puntos colineales, ¿cuántos triángulos
se pOdrán formar en total con
estos puntos?
RESOLUCiÓN:
.• . C’,O 30x29x28 = 4060
1x2x3
@ Un lote de licuadoras se vende así:
el 20% ganando el 20% de su precio
de costo, la mitad del resto ganando
el 40% de su precio de costo,
finalmente se vende el resto con
una pérdida del 25%. Si en la venta
total se ganó 125 soles, ¿cuánto
costó todo el lole de licuadoras?
RESOLUCiÓN:
f—:¡¡¡¡- 100K —-1
G: 4K G: 116K P: 10K
Balance final: 4k+16k-10k = 10k =
125 se ganó
:. P.C. Lote: 100k= 10(10k)=
= 10(25)= 1250
@ En una reunión el número de hombres
y mujeres están en la relación
de 3 a 2 ¿Qué porcentaje de hombres
deberán retirarse para que el
porcentaje de mujeres aumente en
un40%?
RESOLUCiÓN:
,Hombres, ~. ,Hombres, ~
3 2 3-x 2 .. .. .. ..
60% 40% _\ 1 i .J!4% )19%.1 Aumenta
1 4 en 40%
3-x =~”x=2
1 4 2
:, Retiran x100% = 5/2 x100% =
Hombres 2
=83,3%
@ Un trabajador salió de vacaciones y
observó que llovió 11 veces en la
mañana o en la tarde y que cuando
llovía en la tarde la mañana estaba
clara, además hubo seis tardes ciaras
y 9 mañanas claras, ¿cuánto
tiempo estuvo de vacaciones?
RESOLUCiÓN:
M T
Llovió 1 x ll-x 1}11
No llovió 9 6.
‘—-r-‘ ‘—-r-‘
9+x = 17-x~x=4
:. x+9 = 13 dlas de vacaciones
@ Hallar el valor de x en la sucesión
mostrada:
O,2,4,B,20,x
RESOLUCiÓN:
024820ísBl
‘–‘” ‘–‘” ‘–‘” ‘–‘” ~
+2 +2 +4 +12 +48
‘–‘” ‘–‘” ‘–‘” ‘–“”
xl x2 x3 x4
@sabiendOqUep;=15120YC;=126,
calcular”k”
RESOLUCiÓN: ni
” n! ~ _ (n-k)! _ P;
C. (n-k)!xk! 126 – k! – k!
luego:
p”
C” =—” ~ 126 = 15120
• k! k!
k! = 120 = 5!
:. k=5
@ En la figura mostrada ABCD es un
cuadrado y ARO es un triángulo equilátero.
Entonces “x” mide:
B e
ALL…—J..JI
RESOLUCiÓN:
3D’
Se observa:
a=9+30′
a=9+x
:. x=30′
@ La suma de los valores reales de ·x”
que satisfacen la igualdad:
Ix+21 =2Ix-21,es:
RESOLUCiÓN:
Recordando: I a I = k I b I
a=kb ó a=-kb
(x+2) = 2(x-2) ó x+2 = -2(x-2)
x+2 = 2x-4 Ó x+2 = -2x+4
x=6 ó x=~
3
• 2 20
•• Sumadevaloresdex:6+3 =””3
@ Una cuadrilla de 35 obreros pueden
terminar una obra en 27 días. Al cabo
de 6 días de trabajo se les junta cierto
número de obreros de otro grupo
cuyo rendimiento es el doble de los
anteriores de modo que en 15 días
terminan lo que falta de la obra.
¿Cuántos obreros eran del segundo
grupo?
RESOLUCiÓN:
Aplicando cantidad de obra:
www.Matematica1.com
27 dlas
~
35 35 ……… 21 días I
obreros 35+x(2} … 15 dlas I
# obreros del 2~ 35.21 “!'(35+2x}15
grupo: x 7 = x
(rendimiento: 2)
@EneISigUientearreglo:
f, 1
f2 8 27
fa 64 125 216
f4 343 512 729 1000
/ i \
Hallar la raíz cúbica del último término
de f20
RESOLUCiÓN:
Sacando {¡ a los últimos términos
de cada fila del arreglo.
f(I) ……….. 1-= (1×2}12
f(2) ………….. ~=(2×3}12
f(3) …………….. ~=(3×4}12
f(4) ………………. 1Q = (4×5}12
fl) ………………….. ~=(20X21}/2
.-_ 210
@ En una feria una persona juega al “tiro
al blanco” con la condición de que
por cada tiro que acierte recibirá “a”
soles y pagará “b” soles por cada
uno de los que falle. Después de “n”
tíros ha recibido “e” soles. ¿Cuántos
tírosdioen el blanco? (a > b)
RESOLUCiÓN:
N” tiros Valor c/u Total
N° de
aciertos x
n-x
~ xa-(n-x) = e
xa-bn+bx=c
x(a+b) = bn+c
bn+c
x=-a+
b
a xa
b (n-x}b
_ Número de tiro que _ bn+c
• – dio en el blanco – a+c
@ ¿Cuántos semicírculos hay?
~ RESOLUCiÓN:
~23
6 4
5
N” de semicírculos: 123; 234; 345;
456; 561; 612 son 6 semicírculos;
luego:
N” total: 6(3)= 18
@ ¿Cuáles el número que es igual a 38
veces a la décima parte de 3/4?
RESOLUCiÓN:
Sea N el número, por condición:
N = 38x-1-x -ª-~ N = 57
10 4 20
@ En un salón de clases hay 90 alumnos
y se observa que la séptima
parte de las mujeres son rubias y la
onceava parte de los hombres usan
lentes. ¿ Cuántos hombres no usan
lentes?
RESOLUCiÓN: r tiene onceava (es mÍlltiplode 11)
l’ tiene séptima (es múltiplo da 7)
(
H +(M = 90
Luego:
11 79 No
22 68 No usan lent .. : 1~ (55) = 5
33 57 No no usan lentes: 50
44 46 No
55 35 Si
@ Si: [x]: máximo entero de Y, hallar
P(4) en:
-[2,5]+[-2,5]-[-O,1]+a2
Pea) = a+[-1,08]
RESOLUCiÓN:
-2+(-3)-(-1 )+a2
Pea) a+(-2)
a2 P(a)=–4- = -“-(a_+-;-2)~I{a-2}~
a-2 Ja-2J
:. P(a)=a+2
Si:a=4~P(4)=6
@caICular”n”en: (n-5)!x(n-2)(n-4)(n-
3)= 120
RESOLUCiÓN:
,( n-5)!x(n-4)(n-3)(n-2), = ‘1-y2-0- ‘
n-2=5
:. n=7
(n::-2)! = 5!
@ Marcar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda.
l. El lanzar un dado normal es un
experimento determinístico.
11. Un evento es un sub-conjunto
cualquiera del espacio muestral.
111. Un experimento aleatorio es un
experimento no determinrstico.
RESOLUCiÓN:
l. Falso. Es un experimento aleatorio,
sale cualquiera de los 6
puntos, pero no se sabe cual.
11. Verdadero
111. Verdadero
@ Si “a+b” representa la diagonal de
un cuadrado 1, entonces el perímetro
de otro cuadrado 11, cuya área
dobla la de 1, es:
RES~N: o(U} a+b
~
Ares. (a+b)’ Ares. _ (a+b)’
. 2 …. x ..2″‘” = (a+b)’
:. Perímetro: 4(a+b) => lado: a+b
@¿CUál O cuáles de las siguientes figuras
se puede realizar de un solo trazo
::~’¡'”i”
(I) (U) (III)
RESOLUCiÓN:
Aplicando los postulados de Euler
estudiados en introducción a la topología:
La fig. I tiene 2 puntos impares y los
demás son puntos pares; por lo tanto
se puede realizar de un solo trazo.
La fig. 11 tiene todos sus puntos pares
y también es realizable de un solo
trazo.
La fig. 111 tiene varios puntos impares
y no se puede hacer de un solo trazo.
@ ¿Qué porcentaje del tres por siete del
cinco por veinte del inverso de 7/2, es
el dos por 49 del cuatro por cinco del
triple de la mitad de 1/4?
RESOLUCiÓN:
–“– x -ª-x…§… x 1.. = .1… x ~ x3x..!. x..!.
100 7 20 7 49 5 2 4
x=40
Luego:
:. Elporcentajees40%
@ ¿Cuántos cuadrados hay? E RESOLUCiÓN:
m:234~~~
4 i ___ J
Número de cuadrados = 12 +22 +32
+42=30
2 cuadrados pequeños = 2
Total de cuadrados = 32
@Selanza dos dados insesgados (normales
o legales) ¿ Cuál es la probabilidad
de obtenerla suma 10?
RESOLUCiÓN:
Dado 2
peA)
6 h–.–rtii’ 863
:. El menor valor. 864
@ Un obrero gana S/.3 más que otro
diariamente. Al cabo de 26 dlas se
retira el primero y seis d las después
el segundo. Si los dos han cobrado
la misma cantidad. ¿Cuál es el jornal
diario del primero?
RESOLUCION:
EllO (A): SI. (x+3) cada día
E12° (B): SI. xcadadía
Luego:
A B
,—-Jo—-., ,–L-,
261x+3) =j1(x)
39+13x= 16x
39=3x~x=13
:. (x+3) = 16 soles
@ En la figura mostrada, el área del
rectángulo ABCD es 12m2. Entonces
la diferencia entre las áreas de
las regiones sombreadas es:
:~ RESOLUCION:
Recordando:
Entod,o ~ .. [x=y)
trapeclo~
Luego:””” __ “”,,, _ -:::;I’I’
Se observa que S 1 = S2
:. Su diferencia es cero.
@ Un reloj se alrasa cinco minulos cada
45′. Si ahora marca las cuatro de la
tarde, y hace 6 horas que lleva relirándose.
¿Qué hora es realmente?
RESOLUCION:
Tiempo
queDasa
8(45min
x 6hr<>360min
~x=40
Entonces el reloj tiene un atraso de
40 min si ahora el reloj marca las 4:00
p.m. quiere decir que la hora correcta
es: 4:40 p.m.
® Diga Ud. ¿qué hora es?, Rápidamente,
si faltan 3 horas para que sean las
11 horas con 60 minutos y 60 segundos?
RESOLUCION:
Veamos el siguiente gráfico: S ,llh60’60-<> 12hOl: L ¡
v
Faltan3h
:. Lahoraquees:
12h 01′ -3h = 9:01
,
@ Cuatro parejas de enamorados van al
cine y encuenlran una fila de 8
asientos juntos. ¿De cuántas maneras
diferentes se podrán ubicar en dicha
fila, si cada pareja desea estar
siempre junta?
RESOLUCION:
C8~;~~_~~1 r~hM2) [~_~_~~~J rH~M~]
Como son 4 grupos, se ubican de:
4! maneras además en cada grupo
hay 2 personas los cuales se ubican
de 2! Maneras.
Enlonces en total tienen: 4!x2!x2!x
2!x2! = 364 maneras de ubicarse.
® En una caja hay 10 bolas numeradas
del 1 al 10. Se exlrae al azar una bola.
¿Cuál es la probabilidad que el número
de la bola extraída no exceda
del0?
RESOLUCION:
P(A) = Casos favorables al evento 10 = 1
Casos totales en n 10
OBSERVACION:
El evento: “Sacar una bola con un
número que no exceda de 10″ es
un evento seguro pues de todas
las bolas que hay ninguna excede
al número 10; (la numeración va
de 1 hasta el 10 inclusive)
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~ En la figura ¿qué porcentaje del área
del círculo representa el área de la
región sombreada?
~
V
RESOLUCiÓN:
Del gráfico:
a+9 An . 36 = 2 ( gulo Interno)
::::::> a+e = 72°
Entonces “juntando” las regiones
sombreadas como se muestra a
continuación tendremos:
• (a+9)” 72·
Area = 360. X1tR2 = 360. X1tR2 =
=~”R2
5
:. Porcentaje = t total <> 20%
@Sedefine:
{
m;5 ; si “m” es impar
@=
m+4 . si “m” es par
2 ‘
Calcular:
E=@-@J
RESOLUCiÓN:
(j)= 7+5=6
2
~@=@= 6;4 =5
También:
@=5-+ @J=5= 5;5 =5
Entonces:
E=@-@J
:. E=5-5=0
@ Hallar el área de la región sombreada
si los puntos “E” y “F” son parte de
la diagonal.
B e I s 1 A ~I “”–“‘S—-”’!I D
RESOLUCiÓN:
Por traslación de figuras:
• . 82
•• Araa región sombreada = 2 = 32 u2
@ Hallar el área de un triángulo cuyos
vértices son los puntos de coordenadasA(
2;3), B(5;7)yC(-3;4)
RESOLUCiÓN: ,r¡j\ (5;7) e
(-3;4)
Aplicando determinantes:
.(~~¡~lt~).
2 25
• 12-251123123
•• 5=-2-=-2-=2=11,5
@ Un artillero dispara a un blanco. Si
la probabilidad de acertar un disparo
es 0,01, ¿qué probabilidad tiene
de no acertar?
RESOLUCiÓN:
Los eventos considerados son
complementarios:
,p(ac:erto),+ P(no acierto) = 1
0,01 + P(no acierto) = 1
:. P(no acierto) = 1-0,01 =0,99
@ Calcular la distancia desde el punto
A(-2;3) a la recta: 4x-3y+4 = O
RESOLUCiÓN:
d = 1 4(-2)-3(-3)+4 1
y(4)2+(_3)2
d=~
5
:. d = 1u
~ Si: (a+b+c)2= 289
Hallar:
E = abc+bca+cab
RESOLUCiÓN:
1-8+9+41
V25
Del dato, sacando raíz cuadrada se
– Sumamos
obtiene: – }
abc+
a+b+c = 17 ~ = verticalmente
1887
@ En una mesa panes habían, un nino
panes no come, en la mesa panes
no quedan. ¿Cuántos panes habran
en la mesa?
RESOLUCiÓN:
Habran 2 panes.
El texto dice: •… panes habían” (esta
en plural) esta expresión nos indica
que sobre la mesa hay 2 o más
panes. La oración: •…. panes no come”
nos senala que come solo 1 pan.
Entonces ” …. panes no quedan” lo interpretarramos
como: “queda sólo 1
pan”. La idea del asunto está en la
palabra ·panes” que es plural.
(“panes no come” significarra que come1
pan o ninguno pero n02 o más).
~ La diferencia de 2 números más 60
unidades es igual al cuádruple del
menor menos 50 unidades. Hallar los
números si la suma de ambos es 70.
RESOLUCiÓN:
Sean: a: Número mayor
b: Número menor
Por condición del problema:
a-b+60=4b-50 …… a=51>-110
a+b=70 ..,.. a+b=70
Resolviendo:a=40 b=30
@ Se tiene 3 números enteros consecutivos,
el duplo del menor más el triple
del mediano, más el cuádruple del
mayor, equivale a 74. Hallar el número
menor.
RESOLUCiÓN:
Sean: n; n+1 y n+2los números consecutivos
del problema. Del enunciado
planteamos:
2n+3(n+1 )+4(n+2) = 74
Resolviendo: n = 7
@ Adunito posee un terreno de fonma
triangulardetenminado por los puntos
(-5;0), (2;4) Y (3;6); en la cual deberá
sembrar pasto para alimentar a su
ganado. Hallar el área total del terreno
que deberá trabajar.
RESOLUCiÓN:
(-5;0)
… 8″”,
i-5XOt (
O 2X’4 20)
+ -12 3X 6 12 +
-30-5 O O
-42 32
1-42-321
Luego: S = 2 37 u2
@ Un taxista compra 6 galones diarios
de gasolina al precio de SI. 15 el
galón.
¿Cuántos galones podrá comprar
con la misma cantidad de dinero, si la
gasolina sube a 5/.18 el galón?
RESOLUCiÓN:
Gasto en 1 día: 15(6) = 90
Si el galón sube a 5/.18 entonces
N· galones = JIº- = 5
18
@ Hallar dos números consecutivos cuya
suma es igual a la cuarta parte del
primero, más los cinco tercios del segundo.
Dar como respuesta el consecutivo
del mayor de dichos números.
RESOLUCiÓN:
www.Matematica1.com
Sean n y (n+l) los números luego:
1 5
n+n+l = 4n+3(n+l)
Resolviendo: n = 8
=:> n+l = 9
:. n+2=10
@ Calcular: n
4;0;0;5;16;n
RESOLUCION:
4 . O . O . 5 . 16 . n
vv00~
-4 o 5 11 (jjil
‘–“‘—“~
4 5 6 7
:. n=16+18=34
@Si:9a+8b=llb-3a
a
Calcular: b + 1
RESOLUCION:
De la ecuación tendremos:
a 1
12a=3b=:>b=4
a 1 5
b+1 =4+1 =4
® Un reloj da tantas campanadas como
horas marca. además da una
campanada porcada cuarto de hora.
¿Cuántas campanadas dará en una
semana?
RESOLUCION:
Analizando para un medio dia: r {Minuto 15
3 Campanadas Minuto 30
Minuto 45
I I I I I I I I I I I I I
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
En lar¡ hQ[8s En las 1/4 horas
12×13
#Campanadas=-2- + 12(3) =114
La semana tiene 14 medios días, entonces:
:. N” campanadas = 14(114)= 1596
~ Los goles que marca un equipo en
un partido de fútbol es una cantidad
directamente proporcional al número
de goles que marcó en el partido
anterior más uno. Si en el primer partido
marcó 1 gol y en el segundo 2
goles. Determinar cuántos marcó
hasta el quinto partido (inclusive).
RESOLUCION:
# Goles Parto
constante
# Goles Parto anl. +1
l’ parto 2′ parto 3′ parto 4′ parto 5′ parto
,1 2 x, y z
2 x
1 +1 = 2+1 =:> x = 3
2~1 = * =:> ~ = ~ =:> y = 4
De igual manera: z = 5
:. Total de goles hasta el5to.
1 +2+3+4+5 = 15
@Si:a*b=b2+3a+2b
a6b = a2-ab+b2
Hallar: ‘x” en: 26x = 4*x
RESOLUCION:
26x = 4.x
22_2x+x2 = x2+3(4)+2x
Resolviendo: x =-2
@ Si los tres primeros términos de una
progresión geométrica de razón
igual a 12 son:
1 4 48
3(a-b)’ a2_b2 ‘ a+b
el cuarto ténmino será:
RESOLUCION:
1 . 4 . 48
3(a-b)’ a2_b2 ‘ a+b
‘—–/~
x12 x12
1 4
=:> 12. 3(a-b) = a2_b2 =:> a+b = 1
12.-4- =~=:>a+b= 1
a2_b2 a+b —
a=1 y b=O
Luego:
~;~J@61 :.4=576
x12 x12
@Si: 1 1
xy = b, )(2+ yo = a, entonces (X+y)2
es igual a:
RESOLUCION:
Del dato:
1 1 y2+X2
-+-=-X2
y2 x2y2
=
y2 +2xy+x2 -2xy
(xy)2
=
(X+y)2_2xy
(xy)2
(x+y)2-2b
a= b2
:. (X+y)2 = ab2 +2b = b(ab+2)
@ Si la figura es un cuadrado, hallar el
área de la región sombreada.
1 10
l~
RESOLUCION:
Por traslación
~:~1 1–10 —–l
.’ D 102
Area=-=-=25
4 4 ® Yo tengo el triple de la edad que tenfas
cuando yo tenfa el cuádruple
de la edad que tuviste cuando mi
edad era el triple de tu edad de ese
entonces.
y cuando tu tengas mi edad, nuestras
edades sumarán 28 años ¿Qué
edad tengo?
RESOLUCION:
Pasado
/’…. Presente FubJro
Yo 3x 4x ——- ——- ——-
Tú x 2x
Resolviendo: x = 2
Yo tengo 6(2) = 12
–6–x– – ~
4x
Suma 28
® Cuando Raúl nació, Lucia tenia la
tercera parte de lo que Raúl tiene. Si
Paola tiene 10/9 de la edad de Raúl.
¿Cuál de los tres es más joven y que
edad tiene; si la suma de las edades
actuales de Raúl y Paola es 38 años?
RESOLUCION:
Pasado Presente
Raúl
Lucía
Paola
Por condición:
9n+l0n=38
n=2
O 9n
3n 12n
10n
Luego: Raúl es más joven y tiene 18
años.
@ El precio de costo de un articulo se incrementa
en un 40%. Si se quiere ganar
el 5%, ¿qué porcentaje del precio
de lista se debe descontar?
RESOLUCION:
I P.F. 140 I
incremento: 40 I P.Cioo I G:5 1 35 I
Dscto.
35
Luego: descuento: 140 xl00% = 25%
@ Un albañil pensó hacer un muro en 12
dfas, pero tardó 3 dfas más por trabajar
dos horas menos cada dfa.
¿Cuántas horas trabajó diariamente?
RESOLUCION:
Pensóhacel1aen: 12 n 12n: 15(n-2)
N- dlas hidra}
Perobhizoen: 15 n n-lO
Lo que realmente trabajó cada día es:
(n-2) horas es decir 10-2 = 8h
@ En una fiesta, la relación de mujeres a
hombres es de 3 a 4. En un momento
dado se retiran 3 damas y llegan 3
hombres, con lo que la relación es
ahora 3 a 5. Indicar cuántas mujeres
deben llegar a continuación para que
la relación sea de 1 a 1.
RESOLUCION:
Inicio Quedan
-3
M: 3k -“”‘— 3k-3 = -ª- =:> k = 8
H:4k –,+:!?3_ 4k+3 5
Ahora encontramos el número de
personas que quedan:
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M = 3(8)-3 = 21 } para que la relación
H=4(8)+3=35 seade1a1
es decir cantidades iguales; deben
llegar 14 mujeres.
@ Dos ruedas de Radio R y r(R > r) recorren
el mismo espacio ·S·. Si la diferencia
del número de vueltas de la
menor y la mayor es S/8r, hallar la
relación r/R.
RESOLUCiÓN: (1l) Le = 2.R
1o- s Lc=21tr
1-
1 S
Por condición:
-S- –S- =S-
21tr 21tR 8r
Simplificando queda:
-r =-4. .-..
R 4
N” vueltas
S
2.R
@ Un tanque de agua puede ser lIenadoen
15 minutos y vaciado en 40 minutos.
¿En cuánto tiempo se llenará
el tanque si se abre la llave y el desagüe
simultáneamente?
RESOLUCiÓN:
A: Llena todo
en 15 minutos
B: Vacía todo
A: en 1 min llena: 1~
B: en 1 ml·n vacl.a : 410
en 4 minutos
Ay B en 1 min llenan: 1~ – 4~
Ay B en 1 min llenan: 2~
:. A Y B llenan todo en 24 mino
@sedefine:
= {(a.b)X(b.a); si: a < b ~ (a")x(b·b); si: a ~ b Hallar: E = (~)-( =211) RESOLUCiÓN: 2l.:g 1 = 2·2x_(_2)+2J =4 x(4) =-1 1 ~ = (_2)·2 x(_(_2)+2J) = 4x(4) =-1 Luego: E = (-1}-(-1) E=O ® Un comerciante adquirió cierto número de artlculos de los que vendió 70 y le quedaron más de la mitad; al dia siguiente le devolvieron 6; pero logré vender 36 después de lo cual le quedaron menos de 42. ¿Cuántos artículos formaban el lote? RESOLUCiÓN: Sea "n" el número de artículos: Vende: 70 n Queda:n-70> 2 ~n>140
Le devuelven 6 yvende 36
Queda: n-100 <42 n < 142 :. n=141 @ Siendo "n° un entero positivo, calcular el valor de: ~-~l~J~-¡l~J ~+~J~+~J~+¡J~+~J RESOLUCiÓN: n2 +n-2 n(n+1) Como n es un número entero positivo cualquiera podemos asumir n = 2,luego: ~- ~J 22+2-2 --+ ~+~J 2(2+1) ~~+~=1 OBSERVACiÓN: Si evaluamos para n = 3, 4, 5, ...... también se obtiene resultado 1. @ Con 12 obreros pueden hacerse 50 m de una zanja de 8 días. ¿Con cuántos obreros doblemente eficientes pueden hacerse 200 m dela mismazanjaen 12dias? RESOLUCiÓN: 1P ~~ Ef. #ob #días Obra 1 12 8 50 2 x 12 200 1 (12)(8) 2(x)(12) M 2!lO x = 16 @ Una persona gasta 1/3 del dinero que tiene y gana 1/3 de lo que queda. Si ha perdido en total 12 soles. ¿Cuántos tuvo al inicio? RESOLUCiÓN: Supongamos que tiene 9k soles, entonces: Ahora liene Gasta Queda Gana tiene 11 r---l r----l r---l r---l 9K 3K 6K 2K 8K ------ Perdida total K = 12 .... Por dato Luego, al inicio tuvo: 9(12)= 108 soles ® En un juego perdl los 3/5 de lo que no perdl, ¿qué parte de lo que perdl tenia al inicio? RESOLUCiÓN: 1---TotaI8 -----1 No perdl: 5 Perdl: 3 5 ~3 ,..-Á----, Pues: Perdl = 5~ perdl) Nos piden la relación parte todo: tenia al inicio 8 lo que perdí 3 ~ ¿Qué termino ocupa el octavo lugar? '1'2;2;2'1'2;4 RESOLUCiÓN: '1'2 ; 2; 2'1'2; 4; .... Es una sucesión ';;¡;'-;;¡¡';;¡; geométrica (P.G.) Sabiendo que en un P.G.: t, = t,.q"" Luego: t,= ('1'2)('1'2)'" ~ tB= ('1'2)('1'2)' =-{2B = 16 @ Un barril lleno de vino cuesta S/.900. Si se sacan 80 litros cuesta solamente S/.180. ¿Cuál es la capacidad del barril? Se sabe que el barril vaclo cuesta como 1 O L de vino? RESOLUCiÓN: Costo O SI. B ~Consideremos capacidad del barril: V L; además podemos deducir que los 80 tde ___ vinocuestanS/.720. Barril vacio 720 luego: 1 L cuesta = 80 = 9 soles Entonces B = 10(9) = 90 soles (Costo del barril vacío) ahora el costo total era: (Costo del barril) + (Costo del vino) Costo total = 90+9V = 900 ~V=90L @calcular t,o en c/u de las siguientes sucesiones aritméticas: 1 1 1. 32 ;54 ;7... ........ 511 11. -6;-3;6; .......... . RESOLUCiÓN: 1 1 1. 32 ;54 ;7... ........ ~~ +1% +1~ · 3 7 7 •• t,= 1 4 n+ 4 =4(n+1) • 7 77 •• t,o=4(11)=4 511 11. -6;-3;6; .......... . '-./'-.J' +3 +3 6 6 .·. t =3- n-8- =-1 n-4- , 6 6 2 3 • 11 •• t,o= 3 @ Luchito persigue a Rita que le lleva 150 m de ventaja en el instante que inicia la persecución. Luchito da 40 pasos de 60 cm en 15 seg, mientras www.Matematica1.com que ella da 34 pasos de 50 cm c/u en el mismo tiempo. ¿Oespués de cuánto tiempo la ventaja se reducirá al0m? RESOLUCiÓN: . 40(60) Rapidez de Lucho: ~ = 160cm/s Rapidez de Rita: 341(~0) = 340cm/s 340 Planteamos 10+160t = 150+- 3 -t :. t = 3 (@)Si: F,=lxl-2 F2=2x4-6 F3=3x9-12 F.=4xl6-20 Calcular: F 'o RESOLUCiÓN: F,=lxI 2-1x2 F2=2x22-2x3 F3=3x32-3x4 F.=4x42-4x5 F,o= 10xl02-10xll = 1000-110 F,o=890 @ Un móvil A sale de cierto punto P a las ocho de la mañana en linea recta con una rapidez de 20 km/h. Otro móvil sale del mismo punto 3/4 de hora después, también en linea recta, por otro camino que forma con el anterior un ángulo de 60· y a una rapidez de 5 km por hora más que el móvil A. ¿A qué hora estarán los 2 móviles a igual distancia del punto P y qué distancia será esta? RESOLUCiÓN: Por el dato: 25 [t- ! j = 201 Resolviendo: t = 3h 45' La hora pedida es: :. 8:00+3h 45' = 11.45' ~ La suma de 49 números consecutivos termina en 2. ¿En qué cifra termina el menor de los 49 números? RESOLUCiÓN: Escribiremos la suma de los 49 números consecutivos como sigue: ,n-24+n-23+ ....... + n-l +, v 24 sumandos ,n+n+l+ ..... +n+23+n+24, = .... 2 49n= .... 2 n= .... 8 Ahora: n-24 = ... 8-24 = ... 8-.. .4 = ... 4 ••• El menor de los números termina en cifra 4. @ Habran 2 conejos delante de un conejo, 2 conejos detrás de un conejo, y uno en el medio. ¿Cuál es el menor número de conejos que existen? RESOLUCiÓN: Veamos: 2 conejos delante de un conejo ~_A_------:" ,GcGc>.Gc 2 conejos det~ de un conejo un conejO
en medio
~ 3 x+y
~ Si: X2 O vy = -2-; x > O
Calcular: 2502
A)10 8)12
O) 13/2
RESOLUCiÓN:
C) 11/2
E)8
3 x+y
X2 OYY=-2-; x>O
Para calcular 25 O 2, damos forma
a los operadores.
250f=520.fa-= 5+8 =~
T 1 2 2 I Rpta. DI
® Se define: 1 x2+x 1 = x2+5x+6
Calculara 114a-211 =72
A) 1 8)2 C)3 0)4 E)5
RESOLUCiÓN:
Tenemos:
I x2+x I = x2+5x+6
factorizamos:
I~)
1 1 1
observamos que hay cuatro números
consecutivos (para x entero).
Los dos menores se multiplican
dentro del operador c:::::J y los dos
mayores se multiplican en el segundo
miembro de la igualdad.
Calculo de “a”:
1114a-211] = 72 = 8×9
“===~ 1
=>114a-2 1!31-
1 1
=>14a-~~
1 1
=> 4a-2=2×3
:. a=2
I Rpta. B 1
~ Si: aob = (boa)2- 2(boa)+a+b
Hallarla suma de los valores de (1 01)
A) 1 8)2 C)3 0)-2 E)O
RESOLUCiÓN:
aob = (boa)2- 2(boa)+a+b
=> 101 = (101 )2-2(101 )+1 +1
0= (101 )2-3(1 01 )+2
(1 01):>1<:-1(101)=1 (101) -2(1 01)=2 :. Sumadevalores(l ol)=1+2=3 @Sea(0)laOperaciónenA={0,2,4,6, 8) definida porla tabla siguiente: o O 2 4 6 8 O 4 6 8 O 2 2 6 8 024 4 8 O 2 4 6 6 O 2 4 6 8 824 6 8 O Si: [(x-' 02-')0(608)-']-' = 2 Hallarelvalordex Observación: x·1 elemento inverso de x respecto de (o) NO ~2 q4 ~6 ~8 RESOLUCiÓN: 002468 O 46 8!Oi2 2 6801214 4 JLº-~j~j.§, 6'024618 8 '246~JOJ Oe la tabla, el neutro es e = 6, hallamos los inversos: 1 aoa-'-e 1 20~=6=>2-‘=0
11
80~=6=>8-‘=4
yasr:4-‘ = 8; 0-‘ =2; -, =6
Luego:
[(X-‘o(B~O(@’)]: 2
=> (x-‘ 00)0(8)-‘ = O
‘””T”
(x-‘ 00)04 = O
~
(x-‘oO)= 2
i:(
=>x-‘=8
:. x=4 [ Rpta. C 1
~ Calcular 120 de la sucesión:
3 8 15 24 2’9’19’32 , …… .
A)315/406 8)440/648 C)300/365
0)329/512 E) 432/512
RESOLUCiÓN:
1° 2″ 3″ 4- 20″
~':’ ~~ ,~~ ,···-{E
Para el numerador:
O , 15 , 24 , ……. .
to = n2+2n -+ 120 = 440
www.Matematica1.com
Para el denominador:
-2 2, 9 , 19 , 32 , ……. .
10 13
3 3
3n2 5n
t’=2+””2 -2~ho= 648
:. Nos piden: t20 = ::~ [r.Rp::-:ta-.-=s”l
@ Se tiene la siguiente progresión aritmética:
~:=-;..-::-.-; a, … ,(2a+2)(2a-1 ), … ,(a-2)(a+2)(a-2)
Si la cantidad de términos que hay
entre (2a+2)(2a+1) y (a-2)(a+2)(a-2)
es 3/4 de la cantidad de términos
que hay entre a y (2a+2)(2a+1). Hallar
la razón de la progresión.
A) 1 B)2 C)3 D)5 E)4
RESOLUCiÓN:
a, … ,(2a+2)(2a-1), … ,(a-2)(a+2)(a-2)
analizando las cifras de los términos
vemos que a > 2 Y a < 4, por lo tanto a=3,luego: 3,O, ... ,[87-rJ, 87,0' ... [151-r], 151 '----y---' '------y----' #ténn = (87·r) #ténn =(151·r)-87 r r Por condición: 151-r-87 =-ª-r87-r-31 r 4 l r J resolviendo r = 4 [ Rpta. E I @!!) Calcular el ángulo xsi: a+~+y = 400' A) 20' B) 15' C) 10' D)25' E) 12,5' RESOLUCiÓN: Sabemos que: Aplicando esta propiedad al problema obtendremos: 2x+(180-a)+(180-y) = ~ 2x = (a+p+y)-360 Por dato: a+p+y=400 2x = 40-360 2x=40 :. x=20' I Rpta.A I @ El complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es igual a 4/9 de la diferencia entre el suplemento del ángulo y el suplemento del suplemento del mismo ángulo. Calcular su medida. A) 75' B)45' C)50' D)90' E)O' RESOLUCiÓN: Del enunciado obtenemos: C[S(a)-C(a)] = : [S(a)-S(S(a))] 4 C[(180-a)-(90-a)] = 9 [(180-a)-a] 4 0=9 [(180-2a)] '---<----' O :. a = 90' 180-2a [RPta. D I @ En la figura, hallar7a: A) 360' -1S~ B)540' C)720' D)450' E) 630' RESOLUCiÓN: Prolongando algunos lados para formar triángulos isósceles, obtendremos: B Por propiedad en el cuadrante concavoABCD: (180-2a)+(180-2a)+ (180-2a) = a :. 7a=540 [RPta. S I @ Hallar la diferencia entre el mayor y el menor de los términos de tres cifras dela siguiente sucesión: 7,19,37,61, ......... . A) 805 B)811 D)803 RESOLUCiÓN: 1 6 6 t,= 3n2+3n+1 = 3n(n+1 )+1 Para los términos de 3 cifras 100,;3n(n+1)+1 < 1000 99';3n(n+1)';999 33,; n(n+1)'; 333 ,¡. n=6.7 ......... 17 ~ tme,.,=t.= 127 C)828 E)792 tmayo,=t17=919 :. tmayo,-tme,.,=792 I Rpta. El @ Si: A= {xix E < -oo,O>}
B = {xix E }
Senale la afirmación correcta:
A) (-5,2) “AxB
B)(1 0,-3) ” BxA
C)(4,1) E AxB
D) (6,-2) E BxA
E)(0,2) E AxB
RESOLUCiÓN:
Graficando los conjuntos:
B = (XIX E <0:00» • (-5:2) (0:2)(4:1) AxB B = (XIX E <0;00» A = (XIX E <-00;0» A = (XIX E <-00;0» • (10;-3) BxA • (6;-2) Observando las 5 alternativas concluimos que la única correcta es la "D", puesto que (6;-2) E BxA",.::----::,-, [Rpta. D I @ En la figura mostrada, hallar el perímetro de la región sombreada. A) 21t+41-1 B)1t+81-1 C)31t+41-1 D)21t+81-1 E) 31t+81-1 RESOLUCiÓN: De la gráfica observamos que: Perrmetro: = OA+OB+AB+DC+MN+PQ+DM+ CP+NQ 21t(2) 21t(2) 21t(3) 21t(4) =2+2+--+--+--+--+ 4 12 6 12 +1+2+1 :. Perimetro = 8+31t @ Hallar el área sombreada si ABC es un triángulo equilátero de altura 36m A) 1601tm2 B B)1921tm 2 ~ C) 1441tm2 D)481tm2 E) 361tm2 RESOLUCiÓN: A e Del gráfico: :~ 36 o1<,v,;-~ 60 ;] 6>13 30
30 0
e
Observamos que:
OC=OA=12v3
3R+6V3=12V3 ~R=2V3
www.Matematica1.com
Entonces:
Área=3@+(~
= 3[,,(2v’3)2]+,,(6v’3)2
:.Área=144m2 [Rpta.cl
§ La suma de los 4 primeros términos
de lugar impar de una P.G es a la
suma de los restantes como 1 es a 2.
Además, la suma de todos los 8 términos
es 510. Señale uno de los términos
centrales.
A)64 B)24 C)8 D)30 E)16
RESOLUCiÓN:
centrales
~
P.G.: a,aq,@3l,aq3,@3J,aq5, ~ ,aq’
según el enunciado:
a+aq2+aq4+aq6 1
~
aq+aq’+aq4+aq’ 2
a+aq2I sq1+aq6
,!¡(a+aq2 +aq4 I aq”)
1 ~q=2
2
la suma de los 8 términos es 510
~ a(28 -1) 510
2-1
255a = 510 ~ a = 2
los términos centrales son: 16 y 32
[Rpta. El
~ Hallar la ecuación de la recta perpendicular
aAB, en un punto que divide
a dicho segmento en la razón de
2 a3.A= (3,7)yB = (13,12)
A)3x+2y=8 B)3x=y
C)2x+y=23
D) 3x-2y = -8 E) 3x+2y =-8
RESOLUCiÓN:
Graficando obtendremos:
y
~
4 6
3 7 13
——1-0- —-
x
Por proporciones obtenemos que el
punto M = (7;9).
Calculando la pendiente deAB:
_ 12-7 5 1
mAB= 13-3 =10=2
Por propiedad de rectas paralelas, la
pendiente de la recta ~ es:
1 1 m1¡jt=–=–=-2
m,ij¡ 1
2
Aplicando la ecuación punto pendiente
para hallar la ecuación de la
recta se:
rl ~-:-m-=—~-:~-:””I
– y-9
~ : -2 = —x..7 ~ 14-2x = y-9
. – •• ~:2x+y=23 [Rpta. el
@ ¿Cuántos puntos de intersección
se cuentan en la figura, si existen 28
circunferencias?
(~)=CI)
A)121 B)160
D)143
RESOLUCiÓN:
C)126
E) 130
1 2 3 4 n-l n
C]]])···-{])
. Número do: = n+2(n-1) = 28
circunferencias
3n = 30 ~ n = 10
1 2 3 9 10
CftI)—“‘([)
14p 1-4p 14p 14p
Número de puntos = 14×9 = 126
de circunferencias
[Rpta. el
~ En el octógono regular ABBCDEFG
H, cuyo circunradio es 10cm, calcular
el perímetro del cuadrilátero que
se forma al-“”ir los puntos medios
deAB, BC, EFyFG
A) 20(\/3+1) cm
B) 15(V2+1)cm
C)20(V2+1)cm
D) 1 0(V2+1) cm
E) 25(V2-1) cm
RESOLUCiÓN:
Calculando el enunciado:
45″
H
45″
F 45″ E
45″
Si unimos los puntos ACEG formaremos
un cuadrado cuyo lado, por
teorra, es igual a RV’2 = 1 fJV2. Además,
por base media,
MN = AC = 1fJV2 =5-v2
2 2
Recordando:
1~ ~_d_= V2+1 ~ 5V2 1
\12+1
~ d = 5(2+-v2)
:. Perlmetro = 2[5-v2+5(2+-v2)] =
=20(-v2+1) [Rpta. C I
@ ¿Cuántos colores diferentes, como
mrnimo son necesarios para los
siguientes mapas de modo que dos
regiones vecinas no tengan el mismocolor?
A
A)3y4 B)3y5
D)4y5
RESOLUCiÓN:
B
C)4y6
E)5y7
SeanA, B, C y D colores diferentes
~@ 3 colores 4 colores [Rpta. A I
® ¿Cuál de las siguientes figuras no se
puede dibujar de un solo trazo, sin levantar
el lápiz del papel y sin repetir
una misma línea?
A) 888-88
2 3 -99100
B) 1
2
3
4 5″ 99
100
C) 12345
f7’?Y??5)
RESOLUCiÓN:
99100
O’Ys”)
Las figuras Ay Ctienen sólo 2 puntos
impares cada una, por lo tanto sí se
pueden dibujar de un sólo trazo.
Las figuras B y D tienen todos sus
puntos pares, por lo tanto, si se pueden
dibujar de un sólo trazo.
La figura E tiene 4 puntos impares,
por lo tanto no se puede dibujar de un
solo trazo. [ Rpta. E I
® En una escuelita, si los niños se sientan,
de “a” en “a”, quedan (a-1) niños
de pie; pero si se sientan de a+1 en
a+1, queda una carpeta vacía.
¿Cuántos niños son si a = 10?
A) 200 B)210 C)211
D)208 E) 209
RESOLUCiÓN:
Sea C el número de carpetas luego,
distribuyendo de acuerdo a las condiciones:
e
carpetas mo
10
10
, otJ
DLJ
§§1
11
11
, qg
® -+sobran
www.Matematica1.com
U U
#dealumnos #dealumnos
,——–A—-~
10C+9 = 11Íc=1)’
De donde: C=20
:. #dealumnos: 10(20)+9=209
I Rpta. El
@ Un reloj ubicado en una iglesia tiene
la caraclerlstica de dar una campanada
en cada hora, 2 campanadas
en las medias horas. ¿ Cuántas campanadas
habrá tocado en 1 dla?
A)79 B)88 C)80 D)78 E)72
RESOLUCION:
Distribuyendo el número de campanadas
en 1 día:
(
campanadas
,wcrwcrwcr crwcr
Oh 1h 2h 3h ………….. 23h 24h
# total de campanadas: [ Rpta. E [
1(24)+2(24)=72 . .
@ Con 50 monedas de 5/.5 y 5/.1 O colocadas
en contacto, una a continuación
de otra y en línea recta, se ha
formado una longitud total de 1 m.
Los radios de las monedas son 7,5
mm y 20 mm, respectivamente.
¿Cuántas monedas de 5/.10 hay en
el grupo?
A)40 B)10 C)30 D)20 E)35
RESOLUCION:
Según dato, tenemos:
{
8
mO:das O
~
Luego:
R= 7,5 mm
D = 15 mm
R=20 mm
O =40 mm
15 15 15 40 40 40 40
,/<----;f----,/ ....... ~ >1 ~ >1 ,r …… ./’—–:.t
OO ……. ~ ……. S ‘——y——-‘ ,
(50-x) monedas x mo-;;edas
~ Longitud total: .-r:.:. m <> 1 000 mm
15(50-x)+40(x) = C1.QQ.9)
Resolviendo: x = 10
:. # monedas de 5/.10 = 10
[r-Rp-ta-. s-‘I
@ En la venta de un objeto se ganó el
50% del precio de costo. ¿Qué tanto
por ciento, respecto del precio de
venta, se ganó?
A) 33% B)30%
D)30,3%
RESOLUCION:
C)33,3%
E) 36,6%
Suprimiendo: r—–,
I p”””” =5/.100 I
entonces: Ganancia = 50%(1 00)=50
Luego: PVllnta= PC05to+Gganancia
….. p”,,”,” = 100+50 = 150
Nos piden:
:. 155~ xl00% = 33,3% I Rpta. C 1
® De 8 hombres y 5 mujeres se quiere
seleccionar a 8 personas para realizar
un comercial. ¿Cuál es la probabilidad
de que el grupo esté formado
por 6 hombres y 2 mujeres?
A) 11/17 B)280/1287 C) 120/2129
D) 23/71 E) 121/4443
RESOLUCION:
e : Elegir 8 personas de un total de
13.
~ n(n) = C’3 = C’3 13x12xllxl0x9
8 5 5x4x3x2xl
= 13xllx9 = 1287
A: que sean 6 hombres y 2 mujeres
HyM
8 5 8×7 5×4
~n(A)=C xC =–x–=280
5 2 2xl 2xl
• n(A) 280
•• P(A) = n(n) = 1287 [Rpta. S 1
@ En un libro que tiene entre 1000 Y
2000 páginas se han utilizado 85 tipos
para enumerar las 25 últimas
impares, cuya cifra tenminal es 3 ó
5. Si la suma de cifras de la última
página es 13, indicar el número de
páginas que tiene el libro.
A) 1129 B)1228
D)1066
RESOLUCION:
C)1732
E) 1048
Asumiendo que las 25 últimas páginas
sean de 4 cifras, tendríamos:
….. 25(4)= 100 cifras
No se cumple, pues la cantidad de
cifras = 85
Se deduce que algunas son de 3 cifras.
{
# páginas de 3 cifras = a
# páginas de4 cifras = b
….. ;:~b2; 5 ~ :~~~~i~~dl~
Haciendo la distribución correspondiente:
1- 2- 9″ 10″
.. ·Ex8x3 …. ···ee ……. e
N””’..J sumad.J última pagina cifras = 13
I Rpta. E 1
@ En un concurso participan 7 alumnos
y 8 alumnas, si deben haber 2
ganadores. ¿cuál es la probabilidad
de que los ganadores sean una pareja
mixta?
A) 8/17 B)5/11
1′)8/15
RESOLUCION:
Del enunciado: e
C)7/13
E) 4/9
(7H Y 8M ~ 2 persona!)
e : Elegir dos personas
15×14
~n(n) = C15=–= 15×7
5 2xl
A: sea un hombre y una mujer
HyM
~n(A)=7 x8
• 7×8 8
.. P(A) = 15×7 =”5 I Rpta. D 1
@ Un tren de “x” metros de longitud se
demora, en pasar frante a un observardor,
8s y se demora 24s, en cruzar
un puente de 800 m de largo. HalIar”
x”.
A) 200 B)320
D)360
RESOLUCION:
C)400
E)420
Analizamos las condiciones en 2 gráficos
relacionados.
En 16seg ….. 800m
En8seg ….. x=400m
® Hallar: a+b+c _
Si:a!-b!+c! = abe
[Rpta.A 1
A)6 B)7 C)8 D)9 E) 10
RESOLUCION:
Tenemos:
a! +b! +c! =abc
y sabemos:
1! = 1
21=2
3!=6
4!=24
5!= 120
61=720
7! = 5040
Necesariamente; a, b y e deben ser
menores que 6. Uno de los factoriales
es 5! = 120 Y los otros factoriales
son menores, con lo cual deducimos
queen abe, “a”debeserigual a 1.
Es decir, el otro factorial es 1 ! = 1. Sólo
nos falta un factorial, veamos:
a! +b! +c! =abc
‘-r’ —.,……. …..,….,
1! 5! +4! 145
dicho factorial es 4! = 24, con lo cual
se satisface la igualdad.
~ a=1,b=4yc=5
:. a+b+c= 10 [Rpta. E 1
@ Existen 6 números, de 2 cifras cada
uno, fonmados por los diferentes ordenamientos
de únicamente 3 cifras
diferentes entre sI. Además, la suma
de las mencionadas 3 cifras, hallar la
suma de cifras de la edad de Yolanda
si tiene “n” años.
A)2 B) 12 C)22 D)4 E)8
RESOLUCION:
Sean a, b y e las tres cifras, entonces:
– – – —
ab+ac+ba+bc+ca+cb = n(a+b+c)
(1 Oa+b )+( 1 Oa+c)+(l Ob+a)+(l Ob+c)+
(1 Oc+a)+(l Oc+b) = 22(a+b+c)
Luego: 22(a+b+c) = n(a+b+c)
T T
~ Edad de Yolandad = 22 años
:. Suma de cifras = 2+2 = 4 [rRp=–ta-.-=D”1
@¿CUál es el día que está ubicado antes
del sábado en la misma medida
que está después del Martes?
Aliueves B) miércoles C)viemes
D) martes E) domingo
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RESOLUCiÓN:
2 dla. 2 dla.
~
I I I I I
Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado
El dla que está antes del sábado en
la misma medida que está, después
del martes es el Jueves. I Rpta. A 1
@ Calcular: CE2 + EC
Si:CUATRO +
CUATRO
CUATRO
CUATRO
CUATRO
VEINTE
Además, letras diferentes representan
cifras difarentes:
A)216 B)81
D)276
RESOLUCiÓN:
Tenemos: CUATRO x
5
VEINTE
Y nos piden CE2 + EC
C)225
E) 200
Si observamos la multiplicación;
CUATRO tiene 6 cifras y el resultado
VEINTE también tiene 6 cifras, con
lo cual deducimos que C = 1. Además.
al multiplicar 5 por la letra ·0″
(que es una cifra), el resultado tenmina
en cero ó en 5. Entonces E = 5.
puesto que E es diferente de cero, ya
que es primera cifra de número EC.
Luego: CE2+EC= 152+51 =276
I Rpta. D 1
@ En la figura mostrada. hallarx.
SiAE=EC;EB=CD B
A) 25· ~ B)45. E 100′
C)40· x
D)35· A C
E) 30· D
RESOLUCiÓN: B
De la gráfica:
El triángulo EBD resulta ser isósceles
luego que al trazarse BD el triángulo
BDC resultó ser equilátero.
Entonces: