CONTEO DIRECTO DE POLIGONOS Y OTROS PROBLEMAS RESUELTOS PDF



CONTEO POR SIMPLE INSPECION DE SEGMENTOS , ANGULOS , ASTERISCOS Y POLIGONOS
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Una figura puede ser simple o compuesta:
Figura Simple:
En su interior no aparece otra figura.
EJEMPLO:
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Figura compuesta:
Cuando en su interior aparecen otras figuras
EJEMPLO:

estrategias de resolución:
* Reconocer lo que pide el problema: número de segmentos , número de triángulos, número de cuadriláteros, número de cuadrados, etc.
* Si se tratara de una figura distinta de las mencionadas en el punto anterior, asignar una letra o número a cada una de las regiones simples, para luego proceder al conteo en forma ordenada: primero contando las figuras solicitadas que se pueden formar con una región, luego las que se pueden formar con dos regiones, después las que se forman con tres, y así sucesivamente.
CONTEO DIRECTO
POR Simple inspección :
Se emplea cuando se puede realizar una óptima discriminación visual.
Cuando la figura es sencilla (no es complicada) el proceso de contar se puede realizar mentalmente.

Ejemplo 1:
¿Cuántos segmentos, observas en la siguiente figura?

RESOLUCION :

Rpta.: El número total de segmentos es 10.

NOTA :
Cuando la figura ya no es sencilla (algo complicada) se recomienda escribir una letra o número en cada espacio encerrado por figuras simples y luego se procede a contar en forma ordenada, de la siguiente manera:
* Se cuenta todas las figuras simples, o sea, las que tienen una sola letra o número.
* Se cuentan las figuras formadas por 2 letras (o números), luego las formadas por 3 letras y así sucesivamente hasta que al final se suman todos los resultados parciales, obteniendo el total de figuras que se quería.
En el método combinatorio, lo que hacemos
es asignar letras o dígitos a todas las figuras simples y luego procedemos a anotar todas las combinaciones que correspondan a la formación de la figura solicitada o a la condición requerida por el ejercicio. Esto debe ser realizado de manera ordenada y secuencial contando primero figuras de una letra, luego de 2, etc.

Ejercicio 1 :
En el gráfico mostrado, indique el número máximo de segmentos que hay.

A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
RESOLUCION :

Nos piden el número total de segmentos.
Para resolver este problema analizaremos en dos tramos.
• En el tramo.

En este tramo podemos observar a los segmentos
: hay tres segmentos.
• En el tramo .

En este tramo podemos observar a los segmentos
hay seis segmentos.
Luego, en total habrán 3 + 6=9.
Por lo tanto, hay nueve segmentos.
RPTA : ‘‘d’’
Ejercicio 2 :
En el gráfico mostrado, indique el número total de ángulos agudos.

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 3
RESOLUCION :

Nos piden el total de ángulos agudos.
Debemos recordar que un ángulo agudo mide menos que 90°.
En el gráfico, los ángulos agudos son
AOB; BOC; COD; AOC y BOD
El ángulo AOD mide 90°, no es agudo.
Por lo tanto, solo hay cinco ángulos agudos.
RPTA : ‘‘b’’
Ejercicio 3 :
En el siguiente gráfico, ¿cuántos asteriscos pertenecen exactamente a 2 figuras?

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
RESOLUCION :
* Este tipo de conteo se realiza de manera visual, se emplea para figuras de menor grado de dificultad.
* Procederemos a sombrear aquellas regiones que pertenezcan exactamente a dos figuras.

Por lo tanto, hay 6 asteriscos que pertenecen a solo a 2 figuras.
RPTA : ‘‘c’’
Ejercicio 4 :
Halle el número total de hexágonos en el siguiente gráfico:

a) 16
b) 12
c) 32
d) 18
e) 20
RESOLUCIÓN :
Viendo los casos por inspección:

Total de los casos=16
RPTA : ‘‘A’’
Ejercicio 5 :
¿Cuántos pentágonos hay en la figura?

A)2
B)3
C)4
D)5
E)6

RESOLUCION :
En la figura

se observa los pentágonos:
(1; 2; 3), (1; 2; 4), (1; 2; 3; 4 ) y ( 1 ; 4 ; 5 )
Por lo tanto, hay 4 pentágonos.
RPTA : ‘‘c’’
Ejercicio 6 :
¿Cuántas semicircunferencias hay en el gráficos

a)10
b)20
c)4
d)8
e)12

RESolución :

De la circunferencia mayor se observan:

De las circunferencias pequeñas se observan:

Total=4+8+8=20
RPTA : ‘‘b’’
Ejercicio 7 :
Calcule la cantidad total de hexágonos en la figura.

A) 12
B) 8
C) 7
D) 11
E) 5
resolución :
Se pide la cantidad total de hexágonos.
El conteo de hexágonos en el gráfico lo iremos realizando por partes.
* Comenzamos contando los hexágonos de la forma:

Encontramos 2 hexágonos de la forma indicada,
señalados en el gráfico mediante lo sombreado y el polígono resaltado (como referencia podemos decir que se forman sin considerar las regiones simples con letras a y b). En forma análoga, se contarán 2 hexágonos, los cuales se forman sin considerar las regiones simples con letras c y d.

Ahora, tenemos otros 2 hexágonos, resaltados en el gráfico, en los cuales no se incluyen las regiones con letra b para uno, y sin la región con letra d.

También observamos otros 2 hexágonos indicados en el gráfico: uno que no incluye a las
regiones simples con letras a y d, y el otro que no incluye a las regiones simples con letras b y c.

Otros dos hexágonos con un ángulo interior mayor a 180° indicados mediante el polígono resaltado y la parte sombreada.

Hexágonos con dos ángulos internos mayores a 180°. Solo encontramos uno.

Por lo tanto, el total de hexágonos:
4 + 3 (2) + 1 = 11
RPTA : ‘‘d’’
Ejercicio 8 :
Cuántos hexágonos hay en:

A) 1
B) 2
C) 12
D) Ninguno
E ) 6
Resolución:
Los hexágonos serán:
134; 456; 124; 234; 1245; 2346.

* Se pueden apreciar
6 hexágonos.
RPTA : ‘‘e’’
Ejercicio 9 :

Dada la siguiente figura

I) ¿Cuántos asteriscos hay en total?
II) ¿En cuántas regiones simples no hay más de un asterisco?
III) ¿Cuántos asteriscos se encuentran dentro del rectángulo y fuera del triángulo pero en el interior del cuadrado?
A) 24 – 10 –1 B) 24 – 9 – 1 C) 24 – 10 – 1
D) 24 – 10 – 1 E) 24 – 11 – 2
RESOLUCION :
I) Se pide la cantidad total de asteriscos.
Contando directamente en el gráfico, se tiene:

Total de asteriscos = 24
II) Se pide el número de regiones simples con no más de un asterisco.
En el gráfico, indicamos lo pedido:

Total de regiones: 9
III) Se pide el número de asteriscos dentro del rectángulo y del cuadrado pero fuera del triángulo. Se observa solo un asterisco.

RPTA : ‘‘B’’
Ejercicio 10 :
En el gráfico mostrado, indique lo siguiente:
I) La cantidad de asteriscos que pertenecen solo a dos figuras geométricas.
II) La cantidad de asteriscos que pertenecen solo a una figura geométrica.

A) 8 – 7
B) 7 – 10
C) 8 – 8
D) 8 – 10
E) 7 – 9
Resolución :
Nos piden indicar lo siguiente:
I) La cantidad de asteriscos que pertenecen a solo dos figuras geométricas.
II) La cantidad de asteriscos que pertenecen a solo una figura geométrica.

I) La cantidad de asteriscos que pertenecen a solo dos figuras geométricas es 8.

II) La cantidad de asteriscos que pertenecen a solo una y figura geométrica es 10.

La respuesta es 8 –10
RPTA : ‘‘d’’
Ejercicio 11 :
El gráfico muestra la intersección de tres figuras geométricas: un cuadrado, un triángulo y una circunferencia.

Determine:
I) El número de regiones simples.
II) El número de asteriscos que se encuentran en el interior exactamente a dos de las tres figuras
geométricas.
III) El número de asteriscos que se encuentran en el interior de la circunferencia y del cuadrado pero no del triángulo.
A) 21–10 – 7 B) 20 – 9 – 6 C) 21 – 10 – 6
D) 21 – 9 – 6 E) 20 – 9 – 7
resolución :

I) Apreciando detenidamente la figura se puede contar 21 regiones simples.
II) Número de asteriscos en dos de las tres figuras: (la que se indica de color rojo) 9.
III) Número de asteriscos dentro de la circunferencia y el cuadrado pero no del triángulo:
(regiones sombreadas) 6.
rpta : “d”
Ejercicio 12 :
En el siguiente gráfico se intersecan figuras: triángulo, cuadrado, círculo y rectángulo.
I) ¿Cuántos asteriscos pertenecen al círculo y cuadrado, pero no al triángulo?
II) ¿Cuántos asteriscos pertenecen exactamente a dos figuras?
III) ¿Cuántos asteriscos pertenecen exactamente a tres figuras?

A) 7; 12; 6
B) 6; 11; 6
C) 7; 11; 6
D) 6; 12; 7
E) 6; 12; 6

resolución :

I) Número de asteriscos que pertenecen al círculo y al cuadrado pero no al triángulo:
(Se debe apreciar por una inspección minuciosa) 7.
II) Asteriscos que pertenecen a 2 figuras.
(Se debe apreciar por una inspección minuciosa) 11.
III) Asteriscos que pertenecen a 3 figuras.
(regiones sombreadas) 6.
rpta : “c”
Ejercicio 13 :
En el siguiente gráfico, ¿cuántos asteriscos pertenecen a lo más a 2 figuras geométricas (círculo, rectángulo, rombo y óvalo)?

A) 22
B) 24
C) 27
D) 21
E) 25

resolución :

Número de asteriscos que pertenecen exactamente a 2 figuras: 11.
Número de asteriscos que pertenecen a una figura: 13.
Total: 11+ 13=24
rpta : “b”
Ejercicio 14 :
El siguiente gráfico está conformado por dos triángulos, dos rectángulos y un círculo.

Calcule:
a)¿Cuántos arteriscos (*) pertenecen exactamente a dos figuras geométricas?
b)¿Cuántos asteriscos (*) pertenecen exactamente a tres figuras geométricas?
A) 10; 6 B) 8; 6 C) 9; 6 D) 10; 5 E) 9; 5
resolución :

a) Asteriscos que pertenecen a 2 figuras (9).
b) Asteriscos que pertenecen a 3 figuras (6).
rpta : “c”
Ejercicio 15 :
En el gráfico se muestran 3 figuras geométricas intersecadas (un triángulo, un paralelogramo y un círculo).

I) ¿Cuántos asteriscos pertenecen sólo a una de dichas figuras?
II) ¿Cuántos asteriscos pertenecen al círculo y paralelogramo pero no al triángulo?
III) ¿Cuántos asteriscos pertenecen a dos y solo a dos figuras mencionadas?
A) 15; 3; 8 B) 15; 3; 11 c) 14; 3; 10
D) 15; 4; 11 E) 15; 3; 10
resolución :

I) Asteriscos que pertecen a una sola figura: 15.
II) Asteriscos que pertenecen al círculo y paralelogramo pero no al triángulo: 3.
III) Asteriscos que pertenecen sólo a 2 figuras: 11.
rpta : “b”
Ejercicio 16 :
La mitad del número de segmentos de recta que se presentan en la figura es:

A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
RESOLUCIÓN :
En AB : 3 segmentos
En CD: 3 segmentos
En AC: 3 segmentos
En BF: 3 segmentos
Además con DF y BC hacen 3 × 4 + 2 = 14 segmentos. Finalmente, la mitad del número de
segmentos existentes es 7.
RPTA : ‘‘C’’
Ejercicio 17 :
Calcule el número total de octógonos del tamaño y forma que se muestra.

A) 30
B) 26
C) 28
D) 20
E) 24
RESOLUCIÓN :
En la figura, los octógonos que podemos observar son de la forma siguiente:

En total se pueden contar 26 octógonos.
RPTA : ‘‘b’’
Ejercicio 18 :
Halle el número de pentágonos en el siguiente gráfico.

A) 30
B) 28
C) 24
D) 26
E) 32
resolución :

Total: 8+8+4+4=24
rpta : “c”
Ejercicio 19 :
Determine el número de hexágonos que se pueden contar en total en el siguiente gráfico.

A) 16
B) 22
C) 24
D) 18
E) 20
resolución :

Total: 10+6+6=22
rpta : “b”
Ejercicio 20 :
¿Cuántas figuras similares a la mostrada se cuentan en total en el siguiente gráfico? Observación: las figuras deben ser iguales en forma y tamaño, y pueden estar en cualquier posición.

A) 50
B) 52
C) 74
D) 66
E) 78
resolución :

Total de figuras como la sombreada:
2(16+18)+10=78
rpta : “e”
Ejercicio 21 :
El siguiente gráfico está formado por cuadrados simples iguales. ¿Cuántas figuras iguales en forma y tamaño a la sombreada hay en total?

A) 70
B) 74
C) 72
D) 66
E) 68
resolución :

Total de figuras como la sombreada:
28+16+16+8=68
rpta : “e”

En el gráfico mostrado, indique el número máximo de segmentos que hay.

A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
En el gráfico mostrado, indique el número total de ángulos agudos.

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 3
En el siguiente gráfico, ¿cuántos asteriscos pertenecen exactamente a 2 figuras?

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Halle el número total de hexágonos en el siguiente gráfico:

a) 16
b) 12
c) 32
d) 18
e) 20
¿Cuántos pentágonos hay en la figura?

A)2
B)3
C)4
D)5
E)6

¿Cuántas semicircunferencias hay en el gráficos

a)10
b)20
c)4
d)8
e)12

Calcule la cantidad total de hexágonos en la figura.

A) 12
B) 8
C) 7
D) 11
E) 5
Cuántos hexágonos hay en:

A) 1
B) 2
C) 12
D) Ninguno
E ) 6
Dada la siguiente figura

I) ¿Cuántos asteriscos hay en total?
II) ¿En cuántas regiones simples no hay más de un asterisco?
III) ¿Cuántos asteriscos se encuentran dentro del rectángulo y fuera del triángulo pero en el interior del cuadrado?
A) 24 – 10 –1 B) 24 – 9 – 1 C) 24 – 10 – 1
D) 24 – 10 – 1 E) 24 – 11 – 2
En el gráfico mostrado, indique lo siguiente:
I) La cantidad de asteriscos que pertenecen solo a dos figuras geométricas.
II) La cantidad de asteriscos que pertenecen solo a una figura geométrica.

A) 8 – 7
B) 7 – 10
C) 8 – 8
D) 8 – 10
E) 7 – 9
El gráfico muestra la intersección de tres figuras geométricas: un cuadrado, un triángulo y una circunferencia.

Determine:
I) El número de regiones simples.
II) El número de asteriscos que se encuentran en el interior exactamente a dos de las tres figuras
geométricas.
III) El número de asteriscos que se encuentran en el interior de la circunferencia y del cuadrado pero no del triángulo.
A) 21–10 – 7 B) 20 – 9 – 6 C) 21 – 10 – 6
D) 21 – 9 – 6 E) 20 – 9 – 7
En el siguiente gráfico se intersecan figuras: triángulo, cuadrado, círculo y rectángulo.
I) ¿Cuántos asteriscos pertenecen al círculo y cuadrado, pero no al triángulo?
II) ¿Cuántos asteriscos pertenecen exactamente a dos figuras?
III) ¿Cuántos asteriscos pertenecen exactamente a tres figuras?

A) 7; 12; 6
B) 6; 11; 6
C) 7; 11; 6
D) 6; 12; 7
E) 6; 12; 6

En el siguiente gráfico, ¿cuántos asteriscos pertenecen a lo más a 2 figuras geométricas (círculo, rectángulo, rombo y óvalo)?

A) 22
B) 24
C) 27
D) 21
E) 25

El siguiente gráfico está conformado por dos triángulos, dos rectángulos y un círculo.

Calcule:
a)¿Cuántos arteriscos (*) pertenecen exactamente a dos figuras geométricas?
b)¿Cuántos asteriscos (*) pertenecen exactamente a tres figuras geométricas?
A) 10; 6 B) 8; 6 C) 9; 6 D) 10; 5 E) 9; 5
En el gráfico se muestran 3 figuras geométricas intersecadas (un triángulo, un paralelogramo y un círculo).

I) ¿Cuántos asteriscos pertenecen sólo a una de dichas figuras?
II) ¿Cuántos asteriscos pertenecen al círculo y paralelogramo pero no al triángulo?
III) ¿Cuántos asteriscos pertenecen a dos y solo a dos figuras mencionadas?
A) 15; 3; 8 B) 15; 3; 11 c) 14; 3; 10
D) 15; 4; 11 E) 15; 3; 10
La mitad del número de segmentos de recta que se presentan en la figura es:

A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9

Calcule el número total de octógonos del tamaño y forma que se muestra.

A) 30
B) 26
C) 28
D) 20
E) 24

Halle el número de pentágonos en el siguiente gráfico.

A) 30
B) 28
C) 24
D) 26
E) 32

Determine el número de hexágonos que se pueden contar en total en el siguiente gráfico.

A) 16
B) 22
C) 24
D) 18
E) 20
¿Cuántas figuras similares a la mostrada se cuentan en total en el siguiente gráfico? Observación: las figuras deben ser iguales en forma y tamaño, y pueden estar en cualquier posición.

A) 50
B) 52
C) 74
D) 66
E) 78