ALGEBRA EJERCICIOS DEL PRIMER BIMESTRE DE MATEMATICA DE CUARTO DE SECUNDARIA EN WORD

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EXPRESIONES ALGEBRAICAS , POLINOMIOS ESPECIALES ,PRODUCTOS NOTABLES , DIVISIÓN ALGEBRAICA DE POLINOMIOS,DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA ,COCIENTES NOTABLES,

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Entendemos que, Algebra es la parte de la matemática que estudia a la cantidad en su forma más general posible, empleando constantes y variables y las operaciones que con ellas se realizan en los conjuntos numéricos.

EXPRESION ALGEBRAICA
Es una combinación de constantes y variables en cantidades finitas donde solo intervienen las seis operaciones fundamentales suma , resta, multiplicación, división potenciación y radicación, sin variables en los exponentes.

Ejemplos: -8x3y2z ; x2 – x + 1 ;

Nota:
Cualquier expresión que no cumpla con los requisitos mencionados se denomina expresión no algebraica o trascendente.

Ejemplos
2x + 53 + logx2 ; 1 + x + x2 + x3 + ……… ;

TERMINO ALGEBRAICO
Es la mínima expresión algebraica en la que sus elementos se encuentran ligados por las diferentes operaciones aritméticas, excepto la adición y sustracción. Sus partes se indican en el siguiente esquema.

TERMINOS SEMEJANTES
Son aquellos que tienen la misma parte literal.
Dos o más términos se pueden sumar o restar sólo si son semejantes, para lo cual se suman o restan los coeficientes y se escriben la misma parte literal.

Ejemplos:

7xy2 ; – xy2 ; 2 xy2 son semejantes y se pueden reducir a:
(7 – 2) xy2 = (6 + 2)xy2

CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Las expresiones algebraicas se pueden clasificar según la naturaleza de sus exponentes o por el número de sus términos.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
Son aquellas expresiones cuyas variables no están afectadas de radicales o exponentes fraccionarios. Estas expresiones se subclasifican en:

A) RACIONALES ENTERAS: Son aquellas expresiones en los que al transportar todas las variables al numerador, sus exponentes resultan ser enteros no negativos.

Ejemplos:
2x2y ;

B) RACIONALES FRACCIONARIAS: Son expresiones en donde por lo menos una de sus variables aparece en el denominador, o si están en el numerador, alguna de ellas aparece con exponentes entero negativo.

Ejemplos:

EXPRESIONES ALGEBRAICAS IRRACIONALES
Estas expresiones se caracterizan por que sus variables están afectadas de radicales o exponentes fraccionarios.

Ejemplos:

GRADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

GRADO: Es aquel exponente numérico (no variable) racional positivo o negativo que afecta a una variable tomada como base.

Clases de Grado:
a) Grado Relativo (G.R.):
Con respecto a una de las variables
b) Grado Absoluto (G.A.):
Con respecto a todas sus variables

GRADO DE UN MONOMIO

A) GRADO RELATIVO:
Se refiere a una de sus variables de la expresión y está determinada por el mayor exponente que posee dicha variable; para ello la expresión debe estar previamente reducida o simplificada.
Así: El monomio 4×2 y5 z8 es:
con respecto a “x”, de 2do grado
con respecto a “y”, de 5to grado
con respecto a “z”, de 8vo grado

B) GRADO ABSOLUTO:
Se calcula sumando algebraicamente los exponentes de sus variables.
Así: El monomio: M(x, y) = 7×3 y5
Tiene por Grado Absoluto(G.A) = 3 + 5 = 8º grado

IMPORTANTE
• El grado de toda constante siempre es cero, cte 0.
Ejemplo:
Si P(x) = 43 su grado es cero por ser constante
• Si P(x) = 0 Este es el único polinomio cuyo grado es indefinido.
GRADO DE UN POLINOMIO

A) GRADO RELATIVO:
Se refiere a una de sus variables y está determinado por el mayor exponente que afecta a dicha letra en todo el polinomio.

Así:
El polinomio F(x, y) = 2x2y4z3 – 3x3y2z + 5x5yz2 es:

Con respecto a 2x” de 5to grado
Con respecto a “y” de 4to grado
Con respecto a “z” de 3er grado

B) GRADO ABSOLUTO:
Se calcula indicando el término de máximo grado.
Así:
El polinomio:

Tiene por grado absoluto 11.

En el siguiente cuadro se muestra como obtener los grados de las diferentes operaciones:

OPERACIÓN GRADO RESULTANTE
MULTIPLICACIÓN Se suman los grados de los factores
DIVISIÓN Se resta el grado del dividendo menos el grado del divisor
POTENCIACIÓN Se multiplica el grado de la base por el exponente
RADICACIÓN Se divide el grado del radicando entre el índice del radical.

PRACTICA DE CLASE

01. Respecto a la expresión:

a) Es de 1er grado b) Es de 2do grado c) Es de 3er grado
d) Es de 6to grado e) N.a.

02. Determine el grado del siguiente monomio:
P(x) = 24 x8 y2

a) 14.5 b) 14 c) 10 d) 8 e) 2

03. Calcule el grado de:
– (x2 + 2x + 1)3 + 1
a) 2 b) 3 c) 6 d) 9 e) 0

04. Determine el grado de la siguiente expresión:
P(x) =

a) 7/5 b) 1 c) 6/5 d) –7/5 e) 0

05. Calcular (m+n), si el monomio:
M =
es de grado absoluto 10 y el grado relativo a “y” es 4.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 5

06. Hallar (a+b)10, si los términos:

son semejantes:
a) 32 b) 0 c) 64 d) 128 e) 1024

07. Calcular mn si el polinomio:
P(x,y)=

es de grado 20. G.R. (x) = 8
a) 71 b) 70 c) 68 d) 69 e) 172

08. Hallar el valor de “n” si el grado de “P” y “Q” es igual a 3 y 4 respectivamente y se conoce que el grado de la expresión:
es igual a 4.
a) 1 b) 2 c) 3 d) –1 e) 4

09. En P(x, y) = (x+y2)7(x+y3)7(x+y4)7 …(x+y20)7
el grado absoluto es:

a) 1462 b) 1463 c) 1464 d) 1465 e) N.A.

10. Si el grado de P(x) es 4 y el grado de Q(x) es 5. Hallar el grado de R(x) si:
R(x) =

a) 30 b) 40 c) 45 d) 65 e) N.a.

11. ¿Cuál es el grado absoluto de:
P(x, y) = 3×6 y2 + 2×5 y3 – 8×4 y2 + 9y9 – 7×2 y2

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

12. Hallar el valor de “a” para que el grado del siguiente monomio sea igual a 10.
P(x, y) = (22 xa+2 y)2

a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) 3

13. Hallar A-B para que el polinomio:
Ax4 + (B-3)x2 + Bx + A sea de grado 1.
a) 3 b) 0 c) -3 d) 4 e) 1

14. Determine el grado de:
Q(x) = + 2x-7 + 1
a) 6 b) 7 c) 5 d) –6 e) 8

15. Dado el polinomio:
P(x, y) = 2xa+2 y2 – 3xa+1 yb + 52 x6 yb-1
Si su grado absoluto es 10 y el grado relativo a “y” es 4. Hallar el grado relativo a “x”.

a) 5 b) 7 c) 6 d) 4 e) 8

16. Determinar el valor de “m” para que la siguiente expresión:
F(a, b) =
Sea de 2do grado.
a) 37 b) 35/2 c) 31/3 d) 37/2 e) 37/3

17. Hallar el valor de “n” si el grado de “P” y “Q” es igual a 5 y 3 respectivamente y se conoce que el grado de la expresión:
A = es 105.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A.

18. Hallar el grado del siguiente producto:

L = (x7+1)(x9+1)(x11+1) … 20 factores

a) 500 b) 510 c) 520 d) 530 e) 540

19. Si G.P. (x)  3  G.Q. (x)  4
¿Cuál es el grado de la expresión?
E =

a) 46 b) 47 c) 48 d) 49 e) 50

20. Determinar la suma de los grados absolutos máximo y mínimo que puede adoptar:

S(x,y)=

a) 60 b) 61 c) 62 d) 65 e) 70

PROBLEMAS PROPUESTOS

01. Señale Verdadero o Falso:
I. x2 y es una E.A. racional entera
II. x3y2 es una E.A. racional fraccionaria
III. xx+2x no es una expresión algebraica

a) VVF b) VVV c) VFF d) FVF e) VFV

02. Hallar el grado absoluto de la expresión:
x2y+x3yz-xyz+x3y3

a) 2 b) 3 c) 6 d) 9 e) 15

03. Con respecto al monomio 7x3y4z2 es FALSO que:

I) Su grado absoluto es 9
II) Su G.R. (x) es 3
III) Su G.R. (z) es mayor que G.R. (x)

a) Solo II b) Solo I c) I y II d) Solo III e) I y III

04. Son términos semejantes:

a) 5b2 y 5a2 b) 3a2bc y 3a2b c) 99a2 y a2
d) a2+b y a + b2 e) N.a.

05. ¿Cuál es el coeficiente numérico de la expresión?

a) b) c c) c d) e) N.a.

06. La expresión:
10x3y2 – 9y2x3+23x (xy)2
a) Es un trinomio b) Se puede reducir a binomio
c) Se puede reducir a monomio d) Equivale a cero (0)
e) N.a.

07. Al ordenar decrecientemente el polinomio:
x6+y3+x4y2+x5y+x3y5
respecto a “x” o respecto a “y” ¿Qué término ocupa en ambos casos el mismo lugar?

a) x6 b) y3 c) x4y2 d) x5y e) x3y5

08. Señale la afirmación Falsa:
a) Un polinomio completo no siempre está ordenado
b) Un polinomio ordenado no siempre está completo
c) Un polinomio completo de grado 8, siempre tiene 9 términos
d) Un polinomio ordenado de grado 6, siempre tiene 7 términos
e) Un polinomio completo puede estar ordenado

09. Hallar el valor de a para que el grado del siguiente polinomio sea 9:
3xa+1y-4a+2xay-5×2

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 5

10. El polinomio: xm+3+xm+1yn+y4 es homogéneo. Hallar: m+n

a) 4 b) 3 c) 5 d) 6 e)No se puede determinar

11. Hallar el grado del producto :

P(x) = (6×2+1)3 (x2+x+1)5 (x3-8)

a) 15 b) 7 c) 20 d) 17 e) 19

12. Señales verdadero o falso respecto a estas expresiones:
I) es irracional
II) 3xy+y2 es racional entera
III) es racional fraccionaria

a) VFV b) VFF c) VVV d) FFF e) VVF

13. Hallar 2a+b, si se tiene que:

(2a – b)x2 + 4bx+2c  7×2+20x – 5

a) 21 b) 17 c) 19 d) 11 e) 13

14. Hallar el valor de n, para que el grado de (2xn+2y)3 sea 18

a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7

15. Si el siguiente polinomio es homogéneo:

P (x,y) = x5+xny2+xmy4+yr-1
Hallar m+n+r

a) 5 b) 7 c) 9 d) 10 e) 12

16. El polinomio:

P(x,y)= ax3 – a2 x2 y+a3 x y2-a4 y3

a) Es heterogéneo, ordenado y completo
b) Es homogéneo, ordenado y completo
c) Es homogéneo, ordenado e incompleto
d) No es homogéneo, no es ordenado ni completo
e) Ninguna anterior

17. Si el polinomio es completo, hallar n.

P(x) = xn+1+3xn+2+xn+3+5

a) -1 b) 0 c) 1
d) 2 e) 3

18. Indique Verdadero o falso:

I) P(x)= x-2+3x-1+2 es polinomio entero en x
II) ax2y3, con a constante es de grado absoluto 5
III) sen x + x2, es una expresión algebraica

a) VFF b) FFF c) FFV d) VVF e) FVF

19. Dada la expresión:

Hallar: G.A. + G.R. (x) – G.R. (z)

a) 3 b) 5 c) 8 d) 9 e) 12

20. Si: (a+2) x2a+3 y3b-1; (b-3)xa+5 y2a+b-3
son semejantes; su suma es:

a) 2x7y2 b) -x5y3 c) 3x3y7 d) -2x7y3 e) 5x4y3

TAREA DOMICILIARIA

01. Señale verdadero o falso:

I. 4x2y2 es una EA racional entera.
II. 2x –1y2 es una EA racional fraccionaria.
III. xx + log x no es una expresión algebraica.

a) VVF b) VVV c) VFF d) FVF e) VFF

02. Halla el grado absoluto de la expresión:
3×2 yz + 2x3yz + x3y3

a) 2 b) 3 c) 6 d) 9 e) 15

03. Con respecto al monomio 7x5y2 es falso que:

I. Su grado absoluto es 7.
II. Su GR (x) es 4
III. Su coeficiente es 7.

a) sólo II b) sólo I c) I y II d) sólo III e) I y III

04. Son términos semejantes:

a) 5ab2 y 5ab2 b) a2c y 3a2b c) 9a2b y
d) a2 + d y a+b e) N.a.

05. Hallar el valor de n, para que el grado (2xn+2y)4 sea 20.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7

06. Si el siguiente polinomio es homogéneo:
P(x, y) = 10×5 + 3xny2 + 2xmy4 – 5yr – 1
Hallar: 2m + 3n – r
a) 5 b) 7 c) 9 d) 10 e) 12

07. Si el polinomio es completo. Hallar n
P(x) = 4xn – 1 + 3xn – 2 + 2xn – 3 + 5

a) –1 b) 0 c) 1 d) 4 e) 3

08. Indique verdadero o falso:
I. P(x) = x2 + 3x + 2 es una EA racional fraccionaria.
II. abx2y3, con ab constante es de grado absoluto 3.
III. Senx + x–x es una expresión algebraica.

a) VFF b) FFF c) FFV d) VVF e) FVF

10. Dada la expresión:

Hallar: GA + GR (x) + GR(y)

a) 3 b) 5 c) 8 d) 9 e) 12

POLINOMIOS ESPECIALES
Se denomina así a un conjunto de polinomios que gozan de características especiales, llámese la ubicación de sus términos o por el comportamiento de los exponentes que afectan a sus variables. Entre los más importantes tenemos.
A. Polinomio Ordenado
Es todo aquel polinomio cuyos exponentes de una de sus variables (llamada letra ordenatriz) van aumentando o disminuyendo de izquierda a derecha según que el orden sea creciente o decreciente respectivamente.

Ejemplo:
P(x, y) = x9 + x4 y2 + 2×2 y3 – 3xy2 + 7

Con respecto a “x” está ordenado en forma decreciente.

Q(x, y) = 3×11 y2 – x6 y4 + 62 x3 y5 + y8

Con respecto a “x” está ordenado en forma decreciente.

Con respecto a “y” está ordenado en forma creciente.

B. Polinomio Completo
Un polinomio es completo con respecto a una de sus variables, cuando contienen todos los exponentes desde el mayor en forma consecutiva hasta el exponente cero inclusive (término independiente), de uno en uno sin importarnos el orden de su presentación.
Ejemplo:
P(x) = 2×2-5×4+3×3-7x + 1 Term. Indep.
2° 4° 3° 1° 0°

Tiene todas las potencias de la letra “x” desde la potencia 4 hasta cero. Luego diremos que P(x) es un polinomio completo con respecto a “x”, pero desordenado.

Propiedades:
1) En todo polinomio ordenado y completo de una sola variable se cumple que el número de términos está determinado por el grado relativo aumentado en la unidad.

# términos = Grado Relativo + 1

Ejemplo:
P(x) = 5x 3 + 2×2 – 6x + 5

Es de 3er grado y tiene 4 términos.

2) En todo polinomio ordenado y completo el menor exponente respecto a una variable es CERO, denominándose a este término. INDEPENDIENTE, el cual se encuentra al final o al comienzo cuando el polinomio está ordenado en forma decreciente o creciente respectivamente.

Ejemplo:
F(x) = 4×3 + x2 – 5x + 3  3×0 = T.I.
G(x) = 2 – 5x + 7×2 + 3x

2×0 = T.I.

3) En cualquier polinomio completo y ordenado y de una variable la diferencia de grados entre dos términos consecutivos es uno.

Ejemplo:

4) En cualquier polinomio completo y ordenado, el grado de un término cualquiera es la media aritmética entre sus extremos de los términos que lo rodean.
Ejemplo:
F(x) = 4×5 – x4 – 2×3 + x2 + 7x + 5×0
Lugar: 1° 2° 3° 4° 5° 6°
Gt3 = = 3
Gt5 = = 5

C. Polinomio Homogéneo

Son aquellos polinomios cuyos términos (todos ellos) poseen el mismo grado absoluto. A dicho valor se le denomina grado de homogeneidad (G.H.)

Ejemplo:
P(x, y) = x7 – 3×5 y2 + 8×3 y4 – y7
G.A.= 7° 7° 7° 7°

P(x, y) es homogéneo de sétimo grado.

Observación:
No existe polinomio homogéneo de una sola
variable, deberá poseer dos o más variables.
Ejemplo:
P(x) = ax6 + bx6 + cx6; no es homogéneo. ¿Por qué?
Porque depende de una sola variable: a, b y c son constantes; entonces se podrá reducir a
un solo término, así:
P(x) = ax6+bx6+ cx6 = (a+b+c)x6 = Kx6

D) Polinomio Entero en X
Es aquel que depende únicamente de la variable “x”, siendo sus coeficientes números enteros.

Ejemplo: P(x) = 2×4 – 3×3 + 7×2 – 2

E) Polinomio Mónico
Es aquel polinomio entero en x que se caracteriza por su coeficiente principal igual a la unidad.

Ejemplo:
P(x) = x2 – 7x + 5; es un polinomio mónico de segundo grado (cuadrático).
Q(x) = 2x + 3 + x3 – 4×2 ; es un polinomio mónico de tercer grado (cúbico).

F) Polinomios Idénticos (  )
Dos polinomios reducidos, son idénticos cuando los coeficientes que afectan a sus términos semejantes son iguales.
Sea:

P(x) = ax3 bx2+cx+d  Q(x)=Ax3 + Bx2
+ Cx + D

Se dice que P(x)  Q(x) (idénticamente iguales , si se cumple que:

a = A , b = B , c = C y d = D.

G) Polinomios Equivalentes ( < > )
Son aquellos polinomios que teniendo formas diferentes adoptan el mismo valor numérico para un mismo sistema de valores asignados a sus variables.

Ejemplo:
Dados los polinomios:
P(x; y)  (x+y)2– (x – y)2  Q(x; y)  4xy

Si ambos admiten el mismo valor numérico para cualquier valor de “x”  “y”, entonces serán equivalentes; veamos:

Hagamos: x = 2  y = 1

En P(2; 1) = (2+1)2 – (2-1)2 = 9 – 1 = 8

En Q(2, 1) = 4(2)(1) = 8

Se observa que P(2; 1) = Q(2, 1)

En consecuencia P(x;y)Q(x;y) son polinomios equivalentes y se les podrá representar así:

P(x; y) < > Q(x; y)

Observación:
Si dos polinomios son idénticos, entonces también serán Equivalentes, es decir también se obtendrá el mismo valor numérico para cualquier sistema de valores que se asigne a sus variables.
Algunos autores utilizan indistintamente los símbolos de identidad () y equivalencia (< >). ¡No te confundas!

H) Polinomio Idénticamente Nulo ( 0)
Un polinomio reducido es idénticamente nulo, cuando los coeficientes de todos sus términos son nulos o ceros.

Ejemplo:
Si: Ax7 + Bx6 + Cx5 + Dx3 + E  0

Se debe cumplir: A = B = C = D = E = 0

Propiedades Adicionales en los Polinomios

i) Para todo polinomio se cumple que su suma de coeficientes se obtiene reemplazando ala variable o variables con las cuales se está trabajando por la unidad.

 Coeficiente = P(1)

ii) Análogamente, el término independiente (T.I.) se obtiene reemplazando a la(x) variable(s) por cero.

T.I. = P(0)

PRACTICA DE CLASE

01. Si el polinomio es homogéneo:
P(x, y) = x5 + xn y2 + xm y4 + yr-1
Hallar m + n + r.

a) 5 b) 7 c) 9 d) 10 e) 12
02. Determinar la suma de coeficientes del polinomio.
P(x, y) = axa-4 + bxa+b-5 + cxc-b+3

Si se sabe que es completo y ordenado decrecientemente.

a) 4 b) 2 c) 3 d) 5 e) N.a.

03. Señale el grado del polinomio entero ordenado en forma estrictamente decreciente:

P(x) = x12-a + x2a-4 + x4-2a

a) 5 b) 3 c) 6 d) 4 e) 7

04. Si: ax2 + bx + c  (mx + n)2 . Calcule:
S =

a) 5/4 b) 5/3 c) 2/3 d) 2/5 e) 3/2

05. Si el trinomio:

es homogéneo de 10° grado. ¿De qué grado será el monomio:
?
a) 24 b) 25 c) 27 d) 30 e) 33

06. ¿Cuál será el valor de : A + B + C + D para que el polinomio:

Ax3 + 2×2 – 3×3 + 2Cx2 + 8 – 3Bx + D + 9x
sea idénticamente nulo?

a) 0 b) –2 c) 2 d) –3 e) 4

07. dado el polinomio homogéneo:

P(x, y) = xa + yb+c + xb yc + xc yb + xd ye
+ xe yd

Si la suma de todos los exponentes del polinomio es 54. El valor de :
K = a + b + c + d + e, es:

a) 54 b) 27 c) 25 d) 24 e) 40

08. ¿Cuál es el término independiente de:
(x + y + 8z – 5)2 (2×2 – y3 + z + 3)2

a) 150 b) -225 c) 225 d) 425 e) N.a.

09. Hallar la suma de coeficientes de:

(7×3 – 6×2)7 (3x – 2)8 (5×4 – 4×3 + 1)6

a) 32 b) 65 c) 64 d) 128 e) 112

10. Hallar “K” si se cumple la siguiente identidad:
(x+y)7 – x7 – y2  Kxy (x+y)(x2 + xy + y2)2

a) 6 b) 8 c) 7 d) 5 e) 10

11. El polinomio : x3n-1 + x3n-2 + x3n-3 +… + 1
es ordenado y completo. ¿Cuántos términos tiene?

a) 3n+1 b) n c) 3n-1 d) 3n e) n+1

12. Hallar a + b + c en el siguiente polinomio homogéneo:

E = 10xa+3 – 2axb+a + (xy)c – x2 yb+2

a) 10,5 b) 10 c) 11 d) 9 e) 12,5

13. Se conoce que el polinomio:
4xa + 3xb yc + xc yb + ya

es homogéneo, ordenado y completo respecto a “x” e “y” según esto. ¿Cuánto vale a + 2b + 3c?

a) 14 b) 13 c) 12 d) 11 e) 10

14. Si: ….. 3xa yb + 5xa-1 y4 + 7×3 yc + ….. son términos consecutivos de un polinomio ordenado, homogéneo y completo. Entonces a + b + c es:

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

15. Calcular el grado del polinomio entero y ordenado decrecientemente.

P(x) = x2m + xm-3 + x4-m

a) 6 b) 18 c) 20 d) 14 e) N.a.

16. Calcular la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo:

P(x) = c(xa+xb) + a(xb+xc) + b(xa+xc) + abc

a) 6 b) 9 c) 12 d) 15 e) 18

17. Hallar la suma de coeficientes de la expresión:

E = [2x2 - 3x + 1]3 (x5 + 2)2

a) –1 b) 3 c) 4 d) 8 e) 0

18. Determinar “m” con la condición que el término independiente del producto (m > 0).

(x + 3)2 (x + 2)3 (x – m)2 (x2 + 5) sea 1440

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

19. Sabiendo que el polinomio es idénticamente nulo:

P(x)=(a+c-3abc)x2y + (a+b-6abc)xy+(b+c-7ab)

a, b, c  0. Calcule A = .

a) 8 b) 32 c) 64 d) 16 e) 81

20. Halle “a + b + c” si:
4×2 – 14x-48  a(x+1)(x+2)+b(x+2)(x+3)+c(x+1)(x+3)

a) 34 b) 19 c) -4 d) 4 e) –19

PROBLEMAS PROPUESTOS

01. Calcular la suma de coeficientes de:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

02. Calcular el Termino independiente de:

a) 24 b) 23 c) 22 d) 21 e) N.a.

03. Calculara el valor del coeficiente del polinomio:

Si su G.A. es 10 y su G.R.(x) = 7

a) 2 b) 18 c) 4 d) 8 e) N.a.

04. Hallar el valor de 5m + 2n con la condición que el monomio:

Sean de G.A.= 53 y de grado relativo respecto a “x” es 20.

a) 22 b) 13 c) 16 d) 33 e) N.a.

05. Sabiendo que:

es un polinomio homogéneo cuya suma de cuadrados de sus coeficientes es 48, hallar el grado del polinomio. Nota: m > 0

a) 3 b) 6 c) 4 d) 8 e) N.a.

06. Dado el polinomio homogéneo:

si la suma de todos los exponentes del polinomio propuestos es 42, el valor de:
E = a+ b + c + d + e es:
a) 7 b) 21 c) 14 d) 28 e) 33

07. Dado el polinomio:

Ordenado y completo, la suma de sus coeficientes es:

a) 13 b) 12 c) 15 d) 18 e) N.a.

08. Si P(x) es completo, hallar su grado:

términos

a) 2n – 1 b) 2n + 1 c) 2n – 4 d) 2n – 2 e) N.a.

09. Si el polinomio:

es homogéneo y la relación de los exponentes de “x” en sus 2 términos es como 3 es a 1. Hallar: m + n

a) 7 b) 11 c) 1 d) 9 e) N.a.

10.

Son idénticos. Calcular abc

a) 100 b) 200 c) 400 d) 120 e) N.a.

11. Si el polinomio:

es completo, ordenado en forma ascendente y tiene 25 términos, entonces la cantidad de términos que le falta a:

para que sea completo es:

a) 10 b) 9 c) 16 d) 15 e) 28

12. Si el grado de homogeneidad del polinomio:

es 2 entonces el producto de sus coeficientes es:

a) 2 b) 4 c) 8 d) 46 e) 64
13. Si el grado del monomio:

es igual a 5, calcular el valor de

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) N.a.

14. Si el grado absoluto de “P” es 11, determine el valor de “n”

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.a.

15. El polinomio
está ordenado descendentemente.
Calcular P(2), si (a-4) y (2ª-14) son consecutivos.

a) 70 b) 72 c) 76 d) 80 e) N.a.

TAREA DOMICILIARIA

01. Sea el binomio:
Q(x;y)=
Calcular:

a) 1 b) 5 c) 3 d) 4 e) N.a.

02. Calcular la suma de coeficientes del polinomio homogéneo:

a) 40 b) 36 c) 62 d) 70 e) N.a.

03. Calcular abc en el polinomio:

es idénticamente nulo.

a) –2 b) –4 c) –8 d) –12 e) –16

04. En el polinomio:

Se cumple: P(2) + 130 = b + 4 = a
Además P(x) es mónico. El valor de “n” es:

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) –1

05. Si P(x) y F(x) son polinomios de primer grado de coeficientes naturales, y además:
F(4) = 19  P (F(x) –3)  20x+ 8
Calcular: F (P (4))

a) 112 b) 113 c) 114 d) 115 e) 116

Son productos cuyo desarrollo se conoce fácilmente por una simple inspección. Los más importante son:

01. BINOMIO AL CUADRADO.

02.SUMA POR DIFERENCIA

* (a+b)(a-b) = a2 – b2  Diferencia de cuadrados

03.BINOMIO AL CUBO

* (a+b)3 = a3 + 3a2 b +3ab2 +b3 forma
* (a – b)3 = a3 – 3a2 b +3ab2 – b3 desarrollada

04.BINOMIO POR TRINOMIO
(Suma o Diferencia de cubos )

* (a+b) (a2 – ab +b2 ) = a3 +b3
* (a – b) (a2 +ab +b2) = a3 – b3

05.BINOMIO CON UN TERMINO COMUN

* (x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x + ab
06.PRODUCTO DE BINOMIOS

* (ax+b)(cx+d) = acx2 + (ad+bc)x +bd

07.TRINOMIO AL CUADRADO

* (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
forma desarrollada

08.TRINOMIO AL CUADRADO

* (a+b+c)3 = a3+b3+c3+3(a+b)(a+c)(b+c)
forma semidesarrollada

09.IDENTIDADES DE LEGENDRE

* (a+b)2 + (a – b)2 = 2(a2+b2 )

* (a+b)2 – (a – b)2 = 4ab

COROLARIO

* (a+b)4 – (a – b)4 = 8 ab(a2+b2 )

10.IDENTIDADES DE LAGRANGE

* (a2 + b2 ) (x2+y2) = (ax+by)2 +(ay – bx)2

a x (- )

b y (+)

11.IDENTIDAD DE ARGAND

* (x2 +x+1) (x2 -x+1) = x4+x2+1

* (x2m +xm ym +y2n )(x2m – xm yn +y2n ) =

= x4m + x2m x2n + y4n

• IDENTIDADES AUXILIARES

* (a+b+c) (a2+b2+c2 -ab – ac – bc)=

= a3+b3+c3 -3abc

* (a+b+c)3 + 2(a3+b3+c3 ) =
3(a+b+c)(a2+b2+c2) +6 abc

• IDENTIDADES CONDICIONALES

I) Si a+b+c= 0; se demuestra que:

* a2+b2+c2 = -2(ab+bc+ac)
* a3+b3+c3= 3abc
* (a2+b2+c2 )2 = 2(a4+b4+c4 )
* (ab+aac+bc)2 = a2b2 +a2c2 +b2c2

* Si a2+b2+c2 = ab+bc+ac

Donde a,b,c  R

Se demuestra que: a=b=c

* Si:
a2n +b2n+c2n+…+m2n = 0

donde n  N, es posible sólo si :
a = b = c = ……= m = 0

PRACTICA DE CLASE

01. Simplificar:
E = (a – b) (a + b – c)+ (b – c) (b + c – a)+(c – a) (c + a – b)

a) 0 b) a2 c) b2 d) c2 e) a2 + b2

02. Simplificar:
M=(x – 3)(x – 1) (x+2)(x+4) – (x – 2)(x+3)(x+5) (x – 4) – 12(x + 4) (x – 3)

a) x2 +x+ 5 b) 40 c) 48 d) x2 – x +16 e) 42

03. Simplificar la sgte expresión:

a) (x+1)30 b) (x – 1)30 c) x30 d) x e) 1

04. Simplificar :

a) a2 b) b2 c) a2 + b2 d) 0 e) a2 – b2

05. Si: (x+y+z+w)2 = 4(x+y)(z+w)
calcule el valor de:

a) 2 b) 2 – 1 c) 2 – 2 d) 22 e) N.a.

06. Reducir la siguiente expresiva :

a) b) c) d) 3 e)

07. Si se cumple que: (x/y)m + (y/x)m = 79
Hallar :

a) 1 b) 2 c) 3 d) 2/5 e) N.a.

08. Si se cumple que: a/b + b/a= 7
Calcular el valor de:

a)  1 b)  3 c)  2 d)  4 e) N.a.

09. Sabiendo que: x + 1/x = 2
Calcular el valor de x6 + 1/x6

a) 1 b) 3 c) 64 d) 32 e) 2

10. Si se cumple que: a+b=3 y ab= -2
Determinar el valor de: a5 +b5

a) 243 b) 191 c) 573 d) 373 e) 753
11. Si m + n + p = 0; entonces el valor de:
; es:

a) 1 b) –1 c) 2 d) –2 e) 0

12. Simplificar:
(a+b+c+d)2 + (a-b-c+d)2 +(a-b+c-d)2+
(a+b-c-d)2 – 4(a2+b2+c2+d2 )

a) a2 b) c2 c) b2 d) 0 e) a2+b2

13. Evaluar la siguiente expresión:

a) 31/3 b) 2 c) 1 d) –1 e) 3

14. Si : x4 – 3×2 +1=0
Calcular :

a) 5 b) 3 c) 7 d) 4 e) 6

15. Si :
Calcular :

a) 1 b) 3 c) 9 d) 27 e) 1/3

16. Hallar el valor numérico de :
E = x6 – 6×4 +9×2
Para :

a) 12 b) 24 c) 28 d) 56 e) N.a.
17. Simplificar:

a) 1 b) 2 c) a d) b e) N.a.

18. Calcular el Valor Numérico de:

Si: b =

a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) N.a.

19. Si: x + y + z = 0. Calcular el valor de:

a) 12 b) 16 c) 9 d) 8 e) N.a.

20. Si se cumple que:

Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.a.

PROBLEMAS PROPUESTOS

01. Si: x = – 3 Calcular: E =

a) –6 b) 6 c) 4 d) 8 e) N.a.

02. Si: . Hallar:

a) 40 b) 41 c) 43 d) 42 e) N.a.
03. Dado:
Hallar:

a) 10 b) 20 c) 30 d) 38 e) N.a.

04. Si:
Hallar:

a) 6 b) 5 c) 10 d) 8 e) N.a.

05. Si: y
Calcular: x + y

a) 7 b) 5 c) 10 d) 8 e) N.a.

06. Dado:

Hallar: A = ab + ac + bc

a) 24 b) 23 c) 26 d) 21 e) N.a.

07. Si: a – b = b – c =
Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.a.

08. Si:
Calcular:

a) 123 b) 124 c) 121 d) 128 e) N.a.

09. Calcular:
Siendo:

a) 1 b) 3 c) 2 d) 8 e) N.a.

10. Siendo: a – b = 5 ab = 4
Hallar:

a) 185 b) 180 c) 144 d) 130 e) N.a.

11. Si: Hallar:

a) 50 b) 54 c) 52 d) 48 e) N.a.

12. Si:
Halle:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

13. Si: a + b = 2, ab = 3
Calcular:

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) N.a.

14. Si: a + b + c = 0
Entonces:

a) 1 b) 3 c) 9 d) 9,5 e) N.a.
15. Si: a + b + c = 3
Calcular:

a) 18 b) 9 c) 12 d) 21 e) N.a.

TAREA DOMICILIARIA

01.Hallar el coeficiente del término de grado 5 del producto total en:

a) 12 b)13 c)17 d) 19 e) N.a.

02.Hallar “m” para que en el producto resultante, el termino de grado 4º tenga como coeficiente 21.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) N.a.

03.Hallar “m” para que en el producto resultante, el término de grado 3º tenga como coeficiente 7.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) N.a.

04.Hallar el grado absoluto del producto total en:
20 factores en total

a) 610 b) 620 c) 630 d) 440 e) 800

05. Hallar el grado absoluto del producto total en:

a) 3025 b) 3045 c) 3065 d) 3410 e) 385

PRACTICA DE FIJACIÓN DEL APRENDIZAJE

01.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) N.a.

02. Efectuar:

a) 22 b) c) d) e) N.a.

03. Si: x – y = 7 ; xy = 5
Calcular: x2 + y2

a) 49 b) 25 c) 24 d) 59 e) N.a.

04. Si: x3 + y3 = 10
xy = 6
Calcular: (x + y)3 – 18(x + y) + 20

a) 50 b) 40 c) 30 d) 20 e) 10

05. Reducir:

a) 3a b) 2a c) 6a d) 4a e) 5a

06. Calcular: ab + ac + bc, sabiendo que:
a2 + b2 + c2 = 10
a + b +`c = 8

a) 54 b) 27 c) 9 d) 8 e) 64

07. Si: x2 + 1 = 3x
Hallar: x3 + x-3

a) 36 b) 24 c) 18 d) 29 e) 31

08. Reducir:
(x+2) (x+3) (x+4) (x+5) – x2 (x+7)2 – 120

a) 22 b) 11 c) 22(x+7) d) 22×2+154x e) 22×2+154

09. Efectuar:
(a+b)4 – (a –b)4 + 8ab (a+b) (a-b)

a) 8a3b b) 8ab3 c) 16ab3 d) 16a3b e) N.a.

10. Reducir:
(x+2) (x – 3) (x – 5)- x2 (x – 1)2 +26 (x2-x+4)

a) 220 b) 221 c) 222 d) 223 e) 224

11. Reducir:
(x+1)2 (x-1)2 (x2+x+1)2 (x2-x+1)2 – (x6+1) (x6-1)

a) x6 + x3 – 1 b) x6 – 1 c) – 2×6 + 2 d) x6 + x –1 e) x12 + x2 – 1

12. Hallar:
x2 + (x – a)2 + (x – b)2 + (x – c)2
Para: x =

a) a2 + b2 + c2 b) 0 c) abc d) 4abc e) 2(a + b + c)

13. Efectuar:
(x+1) (x-1) (x4+x2+1) (x6-x3+1) (x6+x3+1)

a) x18 – 1 b) – x18 + 1 c) x18 + x9 – 1 d) x18 + 1 e) x 18

14. Si:
(x – a) (x –b) (x – c)  x3 + 5×2 + 15x – 10
Hallar: a3 + b3 + x3

a) – 50 b) – 60 c) – 70 d) – 80 e) N.a.

15. Siendo: a + b = 3 y ab = 3
Calcular:
M = (a + a2 + a3 + a4) + (b + b2 + b3 + b4)

a) 3 b) – 3 c) – 2 d) 2 e) 1

PRACTICA CALIFICADA

01. En la expresión:
(3m4 – am2)2 = 4ma – bm6 + 9mc, entonces el valor de: (b – a) (c – d) es:

a) 4 b) 5 c) 27 d) 12 e) 3

02. Si: p + q + r = 0, entonces simplificar:
se obtiene:

a) b) c) d) – 1 e) 1

03. Si a = 3, entonces el valor de:
es:

a) a2 b) 3 c) 3 d) 6 e) 27

04. Si:
(a –b) ( a + b) = 49, a2 + b2 = 337 y a + b = 7, entonces el valor de , es:

a) 125 b) 145 c) 144 d) 120 e) 140

05. Si:
(x + y + z + w)2 = 4 (x + y) (z + w)
Calcule el valor de:

a) 2 b) 2-1 c) 2-2 d) 22 e) N.a.

Objetivos
 Conocer los métodos de división de polinomios.
 Buscar la aplicación de la división a capítulos posteriores.
 Hallar los restos de algunas divisiones en forma directa.

Introducción
La operación de la división aparece y se desarrolla conjuntamente con los números quebrados al llamarles números ruptos (rotos) y empleó la raya de quebrado para separar el numerador del denominador. En el siglo XVI aparece la reducción de quebrados a un común denominador por medio de M.C.M.

La división de polinomios se simplifica cuando aparecen los trabajos de Guillermo Horner y Paolo Ruffini; donde se muestran esquemas que hacen que la división de polinomios sea mas sencilla.

La división de polinomios tiene mayor aplicación en la teoría de ecuaciones. A continuación desarrollaremos una aplicación importante del Horner al cálculo de la suma de las potencias de las raíces de una ecuación polinominal.

Ejemplo:
Sea polinomio; P(x) = x3- x2+11x – 6 donde se sabe que las raíces son: x1=1; x2=2; x3 =3 ahora obtendremos el polinomio: P(x) = 3×2 – 12x + 11 (llamado también la derivada de P (x)).
Luego dividimos : por Horner.

Lo que se obtiene en el cociente representa :

1 3 -12 11
6 18 -33 18
-11 36 -66 36
6 84 -154 84

Lo cual se verifica teniendo en cuente que : x1= 1;
x2 = 2; x3 = 3; como se planteó al inicio.

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Definición
Es aquella operación donde a partir de dos polinomios llamados dividendo y divisor se obtienen otros dos polinomios llamados cociente y residuo; donde estos 4 polinomios cumplen la siguiente identidad.

D(x) d(x) q(x) + R(x)
Donde :
D(x)= Polinomio Dividendo
d(x)= Polinomio Divisor
q(x)= Polinomio Cociente
R(x)= Polinomio Resto ó Residuo

Además : Grado [d(x)] > Grado [R(x)] R(x)=0

PROPIEDADES DEL GRADO

• GR [d(x)] GR [d(x)]
• Máximo GR [R(x)]= GR [R(x)]-1
• GR [q(x)] = GR [D(x)] – GR [d(x)]

Clasificación de la División

A. División Exacta
Del algoritmo: D(x)

B. División Inexacta
Del algoritmo: D(x)

Métodos para Dividir
Para dividir polinomios; se van a desarrollar dos métodos :

A. Método de Horner
Este método utiliza coeficientes separados de acuerdo al esquema.

K = Grado de Divisor
Ejemplo:
Dividir:

Primero completamos los polinomios:
D(x)
D(x)

Llevamos al esquema:

q(x) R(x)
q(x)= 1×2 + 0x + 1 =x2 + 1
R(x)= 1×2 + 0x – 3 = x2 – 3

B. Método de Ruffini
Es una consecuencia del método de Horner que se aplica cuando el divisor es de la forma:
d(x) = ax + b ; a 0; de acuerdo al esquema:

Donde: =

Ejemplo :
Dividir:

como están completos y ordenados llevamos al esquema:
3x-1=0 3 8 -6 13 17 -1 3
X=1/3 1 3 -1 4 7 2
3
9 -3 12 21 6 5

q(x)Falso R(x)
q(x) verdadero =

q(x) = 1×5 + 3×4 – 1×3 + 4×2 + 7x + 2
R(x) = 5

Teorema del Resto
Este teorema nos permite hallar el resto de una división en forma directa; de acuerdo al enunciado:
Sea P(x) un polinomio no constante; entonces el resto de dividir P(x)entre: (x – a) es P(a).

Demostración:
Del algoritmo: P(x) para:

Ejemplo:
Sea P(x) un polinomio no constante.
• El resto de es P(5)
• El resto de es P(- 4)

Procedimiento Práctico
I.I gual a cero el divisor.
II. Reemplazar en el denominador.
Ejemplo :
Hallar el resto de :
I.
II. Resto =

Generalización del Teorema del Resto
El teorema del Resto también se aplica para divisores de la forma: ax +b ; a 0 ; y para divisiones de grado mayor que uno de acuerdo al siguiente procedimiento:
I. Se iguala a cero el divisor y se despeja lo más conveniente.
II. Se reemplaza en el numerador; hasta obtener un polinomio de grado menor que el grado del divisor el cual será el resto.

Ejemplo:
Hallar el resto de:

Resolución:
Por el T.R. Generalizado:
I.
II. Resto =

(1) (1)

= (5) (7) + x2 – 4

1 –5x
= 35 +1 – 5x – 4 = -5x +32
Resto = -5x +32

PRACTICA

01. Halle la suma de los coeficientes del cociente de: . Sabiendo que su resto es: 5cx

a) 5 b) 1 c) 9 d) 6 e) 8

02. La expresión (x2+2x+5) será un factor de (x4+px2+q), cuando el valor de “pq” es:

a) -150 b) 150 c) 250 d) -250 e) 400

03. Si el resto de dividir: es: “px+q”. Calcular el valor numérico de:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

04. Halle m+n+p si: arroja como resto 5×2 – 3x+7

a) 0 b) 27 c) 12 d) 10 e) 18

05. Si la siguiente división Calcule el valor de:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

06. En la siguiente división ; el resto es 5×2 – 3x+7. Calcule el valor de A+D+U+N+I. Sabiendo que el resto de dividir: es 9; y el resto de dividir: es 6.

a) 19 b) 29 c) 39 d) 49 e) 59

07. Encontrar el resto de la división:

a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 e) 0

08. En la siguiente división efectuado por el método de Horner:

Calcule a – b – c + d + e; si los coeficientes del dividendo suman -10.

a) -1 b) 2 c) 10 d) 0 e) 1

09. Si la división indicada:
, ofrece un residuo lineal. ¿Cuál es éste?

a) -2x b) -x+2 c) x+2 d) -2x+1 e) 2x – 3

10. La división siguiente
, se sabe que el resto es 2x+3, además la suma de coeficientes del cociente es mayor 1ue 15. Calcule ab.

a) 4 b) 9 c) 7 d) 2 e) 8

11. Calcule (mn+np+mp) si el resto de la división: es -5x+8
a) -12 b) -16 c) -137 d) 124 e) 46

12. Calcular “a+b” si la división

Da un cociente que evaluado para x=2 es igual a 39 y a; b  Z+

a) 1 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

13. Si x1, x2, x3 son las raíces del polinomio P(x)=x3+2x-1. Averigüe el residuo de:

a) 0 b) 2x – 12 c) 2x – 1 d) x – 12 e) 2x+1

14. Halle “a” si el polinomio P(x) = xn-axn-1+ax-1; es divisible por F(x)=(x-1)2

a) 2 b) c) d) 8 e) 6

15. Halle el residuo en la división:

a) 200 b) 150 c) 10 d) 255 e) 100

16. Calcule el resto de dividir:
(x3 – 3×2+9x – 5) 

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

17. Halle el resto de dividir:

a) x+6 b) x – 1 c) 2x -1 d) 4x e) 6x

18. Sea la división de polinomios:
. Indicar el resto de la división:

a) x+3 b) x – 1 c) 5x+5 d) 2x e) x

19. Si se sabe que en la división:
n  Z n es par, el término independiente del cociente igual a 510. Calcule el valor de “n”.

a) 5 b) 8 c) -1 d) 6 e) 0

20. Halle el resto de:

a) x7+1 b) x2+1 c) 7 d) 6 e) 5

TAREA DOMICILIARIA

01. Si la división de: (Ax4+Bx3-16×2+9)(3-x-2×2) es exacta. Determine el valor de (A/B)

a) 1/6 b) 3 c) 6 d) 1/3 e) 9

02. En la siguiente división:

el resto es: 72x + c. Hallar a + b – c

a) -5 b) -10 c) 0 d) 10 e) 5

03. Calcular “k” si: P(x,y,z) = x3+y3+z3 + kxyz; es divisible por: x+y+z

a) 3 b) -3 c) 0 d) 1 e) -1

04. Calcular el resto de:

a) -7 b) 0 c) 1 d) -5 e) -1

05. Dado:P(x)=2×5- x4+5×3-6 x2+6x+4 .
Calcule P( )
a) 0 b) 16 c) d) – e) 3
06. En la siguiente división:
La suma de coeficientes del cociente más el resto es igual a 19; calcular “n”, si n  N
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

07. Halle el residuo de la división:

a) 2x+12 b) x+6 c) x+6 d) 5x – 1 e) 3x+6

08. Halle el resto al dividir en:

a) -12 (x+1)2 b) -6x+1 c) 2x d) 5x – 1
e) x+3

09. Si: f(x) y g(x) tiene como divisor común a (x-1) halle el residuo de la división:
a) 1 b) 0 c) 6 d) x+1 e) 2

10. Sea P un polinomio en x divisible por (x3-25x+42). ¿Cuál será el residuo al dividir P(x) entre (x – 2)?
a) 2 b) -2 c) 0 d) 1 e) -1

PRACTICA

01. Calcular la suma de coeficientes del cociente, luego de dividir:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

02. Calcular “a+b”, si la división:
es exacta.

a) -2 b) -1 c) 1 d) 2 e) 3

03. Calcular “a-b”, si la siguiente división es exacta:

a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) N.a.

04. Proporcione el residuo de dividir:
; sabiendo que es equivalente al cociente.

a) x – 1 b) 2x + 1 c) 2x – 1 d) x + 2 e) x – 2

05. En la división:
se obtiene un cociente entero cuyos coeficientes disminuyendo de 2 en 2 y un resto de grado cero. Calcular .

a) 1 b) -1 c) 3 d) -3 e) -5

06. Dividiendo por Horner:

1 a 3 -20 1 f
p -7 b
3 4 c
d e
7 -4 5 -16 10

Luego:
P = a + b + c + d + e + f

a) 21 b) -12 c) 0 d) 12 e) -21

07. Determine para que el coeficiente del término lineal del cociente entero valga (-45) en la división:

a) -81 b) 81 c) 9 d) 6 e) 8

08. Al dividir : entre “x-”; el tercer término del cociente es “ ”. Hallar 

a) 3 b) -3 c)  2 d)  1 e)  3

09. hallar el resto de dividir:

a) b) 2a c) 2b d) e) ab

10. Para efectuar una división según la regla de “Paolo Ruffini” se planteó el siguiente esquema:

4 -3 -b a
2
1 8a c m
4 b d n

Calcule .

a) 3 b) 4 c) 5 d) e)

11. Efectuar:

Indique el resto.

a) 1 b) 7 c) 13 d) 8 e) 9

12. Hallar (m-n) si la división:
es exacta.

a) -20 b) -21 c) -22 d) -23 e) 24

13. Proporcione el cociente luego de efectuar la siguiente división:

a) b) c)
d) e)

14. Halle el resto en :

a) 1 b) 2 c) 3 d) -1 e) -7
15. Si el polinomio: ; es divisible entre (x-2) el valor de “n” es :

a) -2 b) -1 c) 1 d) 2 e) 3

16. Sabiendo que: P(x) = , hallar el resto de dividir: P(x+3) entre (x+2)

a) 36 b) 16 c) 49 d) 9 e) 4

17. Calcular “m+n+p”, si el resto de la división:
es : .

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

18. Calcular el resto de dividir:

a) 6 b) -6 c) 3 d) -3 e) 1/2

19. Hallar el resto luego de dividir:

a) x – 2 b) 2x + 1 c) x – 1 d) 2x + 2 e) 2x – 1

20. Proporcione el residuo de :

a) x – 1 b) x – 2 e) x – 3 d) 2x – 1 e) 0

TAREA DOMICILIARIA

01. Calcular “a” y “b” si la siguiente división es exacta.

a) a=1 b) a=2 c) a=1 d) a=4 e) N.a.
b=5 b=-6 b=-6. b=7

02. Calcular “a+b” si la división:

deja por residuo: 7x + 8

a) 10 b) 12 c) 14 d) 13 e) 17

03. Calcular el resto de la división:

a) 1 b) -6 c) -3 d) 12 e) N.a.

04. Dividiendo por Ruffini:

8 c (c-2) 2

b 16 22 f
a 11 d 32

Evaluar:

a) 10 b) -6 c) 15 d) 12 e) N.a.

05. ¿Qué valor deberá asignarse a “” para que el polinomio: 5×3 – (x2 + x – 1) admita como divisor a: 5×2+2x-4.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
06. Calcular el valor de “n”, si en la división:

Se cumple:
(  cociente)

a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

07. Calcular el resto de dividir:

a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70

08. Sea el polinomio:

f(x)=
Hallar su valor numérico para x =

a) 2 b) 0 c) 1 d) 3 e) 5

09. Determinar la suma de coeficientes del cociente que se obtiene al dividir:
entre (x -1).

a) 153 b) 163 c) 173 d) 183 e) 193

10. Si la siguientes división:

da por resto: .
Determinar : .

a) -2 b) 4 c) -3 d) 3 e) 5

1. CEPUNT 96 : II SUMAT. AREA “A”
Calcular , sabiendo que la división :

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) N.A.
2. CEPUNT 98 – 99
El residuo de la expresión :

; es :

a) b) 1- b c) 1 d) 0 e) N.A.

3. UNT – 99 : AREA “A”
Si el polinomio es divisible por y ( ) entonces el valor de:

es :

a) b) c) – d) e) 2

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA

01. Hallar m sabiendo que:
P(x) = 2mx4 – mx3 + 6x – 24 es divisible entre: 2×2 –x + 4

a) 4 b) 3 c) 6 d) 7 e) 2

02. Determinar M y N de manera que el polinomio:
x4 + 2×3 – 7×2 + Mx + N sea divisible entre x2 – 3x + 5

a) 14 y 13 b) 15 y 16 c) 13 y 12 d) 16 y 15 e) N.a

03. Qué valor debe tener k para que el polinomio:
P(k)=x6+2×5 + kx4 – x3 + 2(8 + k)x2 + 6x – 18, sea divisible por x3 + 2×2 – 3

a) 2 b) –2 c) 3 d) –3 e) 4

04. Si al dividir: 12×4 + Mx3 + Nx2 + 25x – 15 entre un polinomio de segundo grado, se obtuvo como cociente 4×2 + 3x – 2 y como residuo 6x – 5. Calcular M + N

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

05. Hallar un polinomio de cuarto grado en variable “x”, que dé como residuo 2x al dividirlo por (x-1)2 y dé como residuo 3x al dividirlo por (x-2)3.

a) (x-3)3 (3x+1) + 2 b) (x-2)2 (4x+3) + 3x
c) (x-2)3 (4x – 3) + 3x d) (x – 2)3 (3x + 1)+ 2x
e) N.a

06. Encontrar el valor de K para que el polinomio: x3 + y3 + z3 + (k – 9) x y z, sea divisible por x + y + z.

a) 1 b) 3 c) 6 d) e) 4

07. Al dividir un polinomio P(x) entre el producto (x+1) (x-2) (x+3) el resto obtenido es x2 – 5x+1. Encontrar cuáles son los restos que se obtiene al dividir P(x) entre x + 1 ; x-2 ; x+3

a) 7; -3 ; 12 b) 14; 13; -15 c) –13; 12; 15 d) –8; 13; 15
e) 7; -5; 25

08. Al dividir un polinomio P(x) entre (x+3) se obtuvo por residuo –5 y un cociente cuya suma de coeficientes es igual a 3. Encontrar el residuo de dividir P(x) entre (x –1).

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

09. Un polinomio de cuarto grado es divisible entre (x+2) tiene raíz cuadrada exacta. Al dividirlo entre (x – 2) y (x + 1) los restos obtenidos son iguales a 16. Calcular la suma de sus coeficientes.

a) 36 b) 37 c) 38 d) 39 e) N.a

10. Determinar un polinomio P(x) de quinto grado que sea divisible entre (2×4 – 3) y que al dividirlo separadamente entre (x+1) y (x-2) los restos obtenidos sean respectivamente 7 y 232.

a) 12×5 – 3×4 – 15x + 6 b) 10×5 – 4×4 + 15x + 6
c) 12×5 – 4×4 – 15x + 6 d) 10×5 – 4×4 – 15x+7
e) 10×5 – 3×4 – 15x + 6

11. Encontrar un polinomio P(x) de tercer grado sabiendo que al dividirlo separadamente entre (x+3), (x+2) y (x-5), se obtenga siempre el mismo residuo (- 6) y al dividirlo entre (x + o1) el resto sea (- 42).

a) 3×2 – 57x – 95 b) –3×3 + 57x – 95 c) x3 + 57x – 96
d) 3×3 – 57x – 96 e) –3×3 + 57x – 59

12. Un polinomio entero en “x” de tercer grado se anula para x = 7 y para x = -3 y el dividirlo entre (x – 10) da como residuo 39 si el primer coeficiente del polinomio es 3.
Hallar el resto al dividirlo entre (x – 8).

a) 52 b) 53 c) 54 d) 55 e) 56

13. Un polinomio de grado “n” y variable x es divisible entre (xn-1 + xn-2+1) y tiene por término independiente 2. Además dicho polinomio disminuido en 9 es divisible entre (x – 1) y disminuido en 388 es divisible entre (x – 2). Calcular el valor de “n”.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

14. Cuál es la suma de coeficientes de un polinomio P(x) si se sabe que es mónico y de tercer grado, siendo divisible entre (x-2) (x+1) y carece de término cuadrático.

a) 2 b) –5 c) –4 d) 8 e) –3

15. El siguiente polinomio:
P(x) = (x2 – n2) (x3 – m3), se anula sólo para 4 valores diferentes de x. Calcular el resto de dividir entre (x – 2n)

a) 27n5 b) 29n5 c) 25n5 d) 24n5 e) 21n5

16. Al efectuar la división del polinomio P(x) entre (x2+1) se obtiene como residuo (x – 2). El resto que se obtiene al dividir el cubo del polinomio P(x) entre x2 + 1 es:

a) x – 11 b) x – 2 c) 11x-2 d) 11x-8 e) 11x + 2

17. Al dividir un polinomio P(x) entre (x2 + 2) se obtiene un cociente Q(x) y un resto (3x – 1).
Si Q(x) es divisible entre (x2 – x – 6) el resto de dividir P(x) entre (x+2) es:

a) 5 b) –5 c) 7 d) –7 e) 6

18. Si el polinomio P(x) se anula para x = 1, x = 2, x = 3, además es de cuarto grado y divisible por (x – 5), se pide calcular la suma de coeficientes de P(x) si presenta como primer coeficiente a la unidad.

a) 3 b) 4 c)5 d) 1 e) 0
19. Señalar la suma de coeficientes de un polinomio en x, de tercer grado, que es divisible por (x + 1) y al dividirlo entre: (x – 1), (x – 2) y (x – 4) presenta en cada caso el mismo resto 30.

a) –4 b) –2 c) 30 d) 6 e) 7

20. Determinar el residuo de dividir un polinomio P(x) entre: x3+ x2 + x + 1 siendo dicho resto divisible por (x – 1), además el polinomio disminuido en 2 unidades es divisible por (x2+1). Señale como respuesta la suma de los cubos de sus coeficientes.

a) –8 b) –3 c) 3 d) 0 e) 8

Reciben este nombre aquellos que se originan de divisiones que adquieren la forma :

El desarrollo de estos cocientes se puede escribir correctamente sin necesidad de efectuar la división. Es importante hacer notar que los términos de su desarrollo se caracterizan por que obedecen a una misma ley de formación, de la forma general :

Exponente común

Bases

Podemos extraer las siguientes características :

* El Dividendo y el Divisor deben ser binomios, o cualquier otra expresión que se reduzca a ellos.
* Las bases están indicadas en el divisor, debiéndose repetir en el dividendo.
* Los exponentes que afectan a las bases en el dividendo deben ser iguales y nos indicará el número de términos que tendrá en su expresión el cociente notable.

2. ESTUDIO DE LA DIVISION NOTABLE .-

Se presentan 4 formas o casos distintos de divisiones notables, que lo vamos a determinar combinando adecuadamente los signos.

Primero Caso :

Aplicamos el Teorema del Resto :

x  a = 0  x = a

Reemplazamos en el Dividendo :

R = an  an  R = 0

Por tanto podemos afirmar que esta expresión origina un cociente exacto. Luego el cociente es :

Segundo Caso :

Aplicaremos el Teorema del Resto :

x  a = 0  x = a

Reemplazamos en el Dividendo :

R = an + an  R = 2ªn  0

Por tanto podemos afirmar que esta expresión origina un cociente completo o cociente mixto. Luego el cociente es :

Tercer Caso :

Aplicamos el Teorema del Resto :
x + a = 0  x =  a
Reemplazamos en el Dividendo :

Si n es un número par
R = 0
Origina un cociente exacto

R = (a)n  an 

Si n es un número impar
R =  2an  0
Origina un cociente completo

Luego el cociente obtenido es :

Si “n” es un número par

Si “n” es un número impar

Cuarto Caso :

Aplicaremos el Teorema del Resto :

x + a = 0  x =  a

Reemplazamos en el Dividendo :

Si n es un número par
R = 2an  0
Origina un cociente completo

R = (a)n + an 

Si n es un número impar
R = 0
Origina un cociente exacto
Luego el cociente obtenido es :

Si “n” es un número par

Si “n” es un número impar

Observaciones :
Por lo expuesto anteriormente podemos concluir :

- Los divisores de la forma (x  a) provocan un desarrollo cuyos signos son todos positivos.
- Los divisores de la forma (x + a) provocan un desarrollo cuyos signos están en forma alternada, así : +, , +, , …
- El primer término del cociente notable se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniéndose xn  1
- A partir del segundo término del desarrollo, el exponente de la primera base disminuye de 1 en 1 mientras que aparece la segunda, cuyos exponentes aumentan de 1 en 1 hasta (n  1)
 El desarrollo es un polinomio homogéneo.

3. PRINCIPIO A CUMPLIRSE EN UNA DIVISION NOTABLE .-

Es división notable o inmediata si y sólo si :

Donde : n = Número de términos del cociente.
m, p, q, r  R  n  Z+

De la división notable expuesta podemos concluir:

* Los exponentes de “x” y “a” en el divisor nos indicará la forma como aumentan o disminuyen los exponentes de las variables mencionadas.
* Si r > q, los grados absolutos del desarrollo aumentarán de acuerdo a la diferencia (r  q)
* Si r < q, los grados absolutos del desarrollo disminuyen de acuerdo a la diferencia (q  r)

Para ser más objetivos veamos los siguientes ejemplos :

Ejemplo 01 :

G.A.  18 < 20 < 22 < 24 < 26 < 28 < 30

Ejemplo 02 :

G.A.  20 > 19 > 18 > 17 > 16 > 15

4. FORMULA DEL TERMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LOS COCIENTES NOTABLES .-

Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarrollo de los cocientes notables, sin necesidad de conocer los demás :

Para una división de al forma :

Tk = Signo xn  k ak  1

El signo del término buscado dependerá de la forma del divisor y del lugar :

* Cuando el divisor es de la forma (x  a) entonces, el signo del término buscado será positivo (+)
* Cuando el divisor es de la forma (x + a) entonces, el signo del término buscado será :
(  ) Si el lugar que ocupa es PAR .
( + ) Si el lugar que ocupa es IMPAR .

EJEMPLOS ILUSTRADOS

Ejemplo 01 :

Hallar el octavo término del desarrollo de :

Resolución :

Tk = Signo xn  k ak  1

Cómo el divisor es de la forma (x + a) y el término ocupa lugar PAR, entonces el signo será negativo ()
T8 =  ( x5 )12  8 ( y6 )8  1

T8 =  x20 y42

Ejemplo 02 :

Calcular el valor de “n” en :

Para que sea un cociente notable .

Resolución :

8 n  12 = 5 n

3 n = 12

n = 4

Ejemplo 03 :

Si el grado del octavo término del cociente notable

Es 12, hallar el número de términos de su desarrollo

Resolución :

Número de términos será : n/3

Luego : n – 24 = 12

n = 36

Luego, el número de términos será : 12

Ejemplo 04 :

¿Qué lugar ocupa en el desarrollo del cociente notable, el término cuyo grado absoluto es 252?

Resolución :

Hallemos el término que ocupa el lugar “k” que cumpla la condición dada.

Tk = ( x4 )40  k ( y7 )k  1

G A Tk = 160  4k + 7k  7 = 3k + 153

Por dato del problema : G.A.Tk = 252

3k + 153 = 252

k = 33

P

RACTICA DE CLASE
PRACTICA DE CLASE

Objetivos: Al finalizar el estudio de esta clase, el alumno será capaz de:

1. Definir e identificar a los cocientes notables.
2. Resolver problemas que involucran cocientes notables

01. En el desarrollo de:

hay un término de grado 24, la diferencia de los exponentes de “x” y “a” es:

a) 7 b) 24 c) 5 d) 6 e) Ninguno

02. Cuál de las siguientes divisiones no genera un cociente notable?

a) b) c) d) e) N.A.

03. Calcular el número de términos del cociente notable:

si se cumple que: T20 . T30 = x100 y144

a) 100 b) 150 c) 50 d) 30 e) 60

04. Dar el número de términos del cociente notable:

si el penúltimo término es: x2 y82

a) 42 b) 82 c) 86 d) 43 e) 45

05. Calcular: (256 – 1) : 624

a) 390 001 b) 390 251 c) 391 251 d) 391 250 e) 391 249

06. El número de términos que tiene el siguiente desarrollo de:

sabiendo que el t(5) tiene grado absoluto 32, es:

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) N.A.

07. Hallar “m” y “n” para que el término 60 del cociente:
; sea a56 b708

a) m = 2 b) m = 3 c) m = 3 d) m = 2 e) N.A.
n = 2 n = 2 n = 3 n = 3

08. Dado la siguiente división notable Calcular la suma de las cifras de “ab” sabiendo que los grados absolutos de los términos de su desarrollo aumentan de 3 en 3.

a) 10 b) 9 c) 8 d) 54 e) 44

09. x12 + x9 + x6 + x3 + 1 es el desarrollo de:

a) b) c) d) e)

10. En el cociente de:

el grado del término que ocupa el lugar “k” supera en 8 al grado del término de lugar “k” contado desde el último. Calcular k . k.

a) 9 b) 81 c) 100 d) 15 e) 36

11. De:

I.
II.
III.

Con n  Z+, son exactos:
a) Sólo I b) Sólo I y II c) I, II y III d) Sólo II y III e) Ninguno

12. Si xm-96 y14 es el octavo término del desarrollo del cociente notable:
; calcular (m + p + q).

a) 124 b) 144 c) 168 d) 158 e) N.A.

13. En el cociente notable de:

Calcular “a+b” si el término quinto es: xc yd, además d – c = 3.

a) 70 b) 100 c) 120 d) 130 e) 140

14. En el desarrollo del cociente notable de:

hay un término cuyo grado es el doble del número de términos. ¿Qué lugar ocupa este término?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

15. Calcular el valor numérico del término central del cociente notable:

para x = 3, y = 2

a) 3-2 b) 2 c) d) 1 e) 3+2

16. En el cociente notable de:

¿Qué valor adquiere el término central para: a = ; b =
a) 2 b) 1/2 c) d) e)

17. Efectuando:

el número de términos enteros es:

a) 6 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5

18.Hallar el número de términos que tendrá el cociente notable:

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) N.a.

19.Encontrar la suma algebraica de todos los términos del desarrollo del cociente:

Sabiendo que es exacto:

a) 25 b) 32 c) 128 d) 96 e) 48

20. Encontrar el número de términos de:
. . . . – x108 y55 + x99 y60 – . . . .

sabiendo que es el desarrollo de un cociente notable.

a) 12 b) 22 c) 24 d) 21 e) 23

21. Hallar a + b + c si el término central del cociente notable:

Es el noveno e igual a x40 yc.

a) 53 b) 54 c) 11 d) 48 e) 59

“El ser humano es como un quebrado: El numerador es lo que él es y el denominador lo que él cree que es. Cuánto mayor es el denominador más pequeño es el quebrado”.

Leon Tolstoi

PROBLEMAS PROPUESTOS

01. Sabiendo que es el término central del desarrollo del cociente notable.

. Calcular: a + b + c.

a) 86 b) 87 c) 88 d) 89 e) 90

02. Indique la división que dio origen al cociente notable:

a) b) c) d) e)

03. Reducir:

a) b) c) d) e)

04. Hallar el número de términos del desarrollo de un cociente notable que tiene los siguientes términos consecutivos:

a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

05. Hallar el número de términos del cociente notable:

a) 14 b) 13 c) 12 d) 15 e) 16

06. Qué relación deben cumplir “a” y “b” para que la expresión tenga la forma de un cociente notable:

a) ab = 1 b) a + b = 3 c) ab = -2 d) a – b = 4 e) ab = -1

07. Si los grados absolutos de los términos del cociente notable:

van disminuyendo de dos en dos y además el cuarto término tiene un grado absoluto de 21. Hallar su número de términos.

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

08. ¿Qué lugar ocupa el monomio en el cual la diferencia de exponentes de “x” e “y” es 11 en el desarrollo de:

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10

09. Si en el desarrollo de siguiente C.N. :

el término de lugar 8 contando a partir del extremo final tiene por grado absoluto 38, el número de términos que tiene el desarrollo es :

a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25
10. El menor valor del término racional que se obtiene al efectuar el siguiente cociente :

, es :

a) 16 b) 8 c) 4 d) 2 e) 1

PRACTICA DE FIJACIÓN DEL APRENDIZAJE

01. Efectuar:
a) . n b) c) d) e)

02. Reducir:
.
a) b) x c) d) 1 e)
03. Encontrar la suma de los exponentes de x  y al efectuar:

a) 5/3 b) 3/2 c) 5/11 d) 6/5 e) 5/22

04. Resolver:
, y dar valor de
a) b) 2 c) 4 d) 16 e) N.A.
05. Si: . ¿Cuál de las ecuaciones se cumple?

a) x+2= +1 b) 2x=2 c) =2+ d) x – 1= – 2
e) – 2= – 1
06. El valor real de x que resuelve la ecuación: .
a) Está entre 0 y 1 b) Está entre 1 y 2 c) Está entre 2 y 3
d) Es negativo e) N.A.
07. Hallar x en: .
a) b) c) d) e)

08. Resolver:
= 4092
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

09. Reducir:

a) 1 b) 0 c) –1 d) 2 e) -2

10. Si : M  0, calcule su valor aproximado.

M =

a) 1 b) 2 c) –2 d) e) 2

11. Reducir e indicar como respuesta el exponente final de x, (x > 0)

a) –20 b) 15 c) –30 d) 30 e) –2

12. Si: – 2a – 1 = 0. Halle el valor de :

; a  N – {1}

a) 2 b) 4 c) 1 d) 8 e) 16

13. Si se cumple:
a=
b=

Hallar el valor que toma: “a . b”

a) 11 b) 12 c) 14 d) 15 e) 19

14. Si x  R – {1}. Hallar “n”, en:

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
15. Reducir: , si = 5.
a) 1 b) x c) x+1 d) e)
16. Calcular el valor de:

; si =

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e)

17. Reducir:

A= .

 n  N – {1} ; xyz  0

a) 1 b) 0 c) x d) e) xyz

18. Calcular el exponente final de x en:

S(x)=
a) – b) – c) – 1/2 d) / e)

19. Simplificar:

E indicar el exponente final de .

a) n b) c) d) e)
20. Calcular:
T=

a) 60 b) 60,2 c) d) 60,5 e) N.A.

21. Siendo a+b=2.
Reducir:
R=
a) b) c) 2 d) 4 e) 10
22. Si: . Hallar el valor de:
E=
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
23. Simplifique:
M=
a) 37 b) c) d) e) 1/37
24. Cuantas veces x es y, si:
x= ; y=
a) 0,125 b) 0,5 c) 2 d) 4 e) 8
25. Si: =2; calcular: .
a) 32 b) 16 c) 8 d) 4 e) 2
26. Reducir la siguiente expresión:

a) b) c) d) e)

27. Calcular aproximadamente cada expresión:

A=
B=
C=
D=
E= +

Señale cual de ellas es la cantidad menor.

a) A b) B c) C d) D e) E

28. El valor reducido de:
M= ; es

a) 1 b) 2 c) 5 d) 7 e) 11

29. El equivalente de:
P= …, es

a) b) c) d) x e)

30. Hallar el exponente de “x” en:

S=

a) 1 – b) 1+ c) 1 – d) e)

31. Dada la siguiente sucesión:

; ; , …

Calcular:

a) 2 b) 4 c) 5 d) 1/2 e) 1/4

32. Simplificar: .
a) 9 b) 10 c) 12 d) 24 e) 36

33. Sabiendo que: .
Reducir:

a) x/2 b) 2x c) d) 4x e) 1
34. Simplificar x  N – (1).
E=
a) 5/6 b) 1/5 c) 2 d) 3 e) 5
35. Resuelva: . E indique .
a) b) 1 c) d) 2 e) 3
36. Resolver:
=120
a) – 1 b) – 2 c) – 3 d) – 4 e) – 5
37. Determine el valor de “m” en:
=
a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,01 e) 0,03
38. Resolver:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

39. Resolver:

Siendo x>0, y>0, x  y, indicando “x – y”
a) – 5 b) – 4 c) – 3 d) – 2 e) – 1
40. Si: . Calcular: .
a) 9 b) 3 c) 27 d) e) N.A.

TAREA DOMICILIARIA

01. Simplifique:
A=

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

02. Efectúe:

C=

a) 45/60 b) 46/60 c) 47/60 d) 48/60 e) 49/60
03. Reduzca:

G=

a) / 2 b) c) 1 d) 1/2 e) 2

04. El valor reducido de:

J=
Es:

a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 4 e) 1/4

05. Siendo:

a=
b=

Halle el valor de: N=

a) b) c) d) e)

06. El valor reducido de:

Q= es:

a) b) c) d) e)

07. Siendo: . Calcule el valor de:
T=
a) b) c) 4 d) 8 e) 16

08. Dada la igualdad: , el valor reducido de:
U= + es:
a) 30 b) 54 c) 81 d) 84 e) 108

09. Dada la igualdad: , calcule el valor de:

a) b) c) d) e)
10. Resuelve:
; x > 0
a) b) c) d) 2 e) 1/2
11. Luego de resolver:

Indique:
a) 5 b) – 7 c) 9 d) – 11 e) 13
12. Resolver en R.

a) 1/4 b) 1/2 c) 1 d) 2 e) 4

13. Resuelva en R:

a) – 2 b) – 1 c) 0 d) 1 e) 2

14. Luego de resolver:
Indique:
a) b) c) 3 d) 3 e) 3

15. Resolver:

a) 1/2 b) 3/2 c) 5/2 d) 7/2 e) 9/2
16. El exponente formal de “n”; al reducir la expresión:
A= es:
a) x b) 2x c) d) x+1 e) +x
17. Reduzca:
C=
a) 1/3 b) 2/3 c) 1 d) 3/2 e) 3
18. Resuelva:
=
a) – 1/2 b) – 2/2 c) – 3/2 d) – 4/2 e) – 5/2

19. Simplifique:
E=
a) b) c) d) e)
20. Simplificar:
, si x > 0
a) b) c) x d) e) 1
21. Señalar el exponente final de x en:

“k” radicales

a) b) c) d) e)
22. Calcular aproximadamente:

A=

a) 2 b) 2 c) d) 16 e)

23. Sabiendo que x  y verifican la igualdad xy+x+y=1, halle el valor de:

a) 1 b) 2 c) d) 4 e) 8

24. Sabiendo que . Hallar al valor de:

a) 2 b) 1/2 c) 4 d) 1/4 e) 8
25. Calcular el exponente final de x en:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 1/2 e) 1/4

PRACTICA DE CLASE

01. Si: P(x) = 2×2 – 1
Calcular: P(2)P(1) + P(0)P(2)

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

02. A partir de:
P(3x+1) = 15x – 4
Calcular: P(2x-1)

a) 10x-9 b) 5x-9 c) 5x-10 d) 10x-14 e) 10x-5

03. Si:
F(x+1) = F(x) – 2x+1
Además: F(0) = 5
Calcular : F(-1) + F(1)

a) 6 b) 8 c) 15 d) 4 e) 7

04. Dado:
6×2 – 10x(a – x)  bx2 +10x
Calcular (a – b)

a) 17 b) 16 c) 15 d) –17 e) –7

05. Dar (m+n-p) si el polinomio:
P(x) = xm-10 + 3xm –n+5 + 2xp –n+6
Es completo y ordenado en forma descendente.

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

06. Si el polinomio:
P(x, y) = xa + 3xbyc + 5xc yb +2yax0
Es homogéneo, completo y ordenado respecto a sus dos variables, dar (3a+2b+c)

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
07. En el polinomio:
P(x, y) = 2xn+3 ym – 2 z6 – n + xn+2 ym – 3
Si el GA(P) = 11 y GR(x) – GR(y) = 5; calcular (2m+n)

a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30
08. Si en el polinomio:
P(x; y) = x3 yn – n(xyz)3n +(xn )n y11
Y el GR(x) =9, calcular GA (P)

a) 20 b) 18 c) 9 d) 27 e) 24

09. Dados los polinomios:
P(x) = (x2+xy+y3 )(x3+xy-y2 )
Q(x) = (y2-xy+x3 )(x5+2x+1)
Dar el grado de P2 (x). Q(x)

a) 12 b) 80 c) 20 d) 18 e) 96

10. Si:
Calcular:

a) 7/3 b) 5 c) 2 d) 1/2 e) N.a.

11. Si el polinomio:
P(x) = 3x3a – 9 +xa+b – 3 +6(x2)4b+a – c
Es completo y ordenado en forma creciente, calcular (a+b+c)

a) 1 b) 3 c) 6 d) 1 e) – 2

12. Dado el monomio:
M(x, y) = 42 (- 2)-b x2b+3a y3a-b
Si el GA = 8 y GR(x) = 7
Dar su coeficiente:

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) –2

13. Si: P(x- 2) = x2 – 4x + 4
Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

14. Si:
Calcular M(M(5))

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15. Si:
Hallar: P( P ( P ( P (2) ) ) )

a) 1 b) –1 c) –2 d) 2 e) 0

16. Si: P(x+4) = 3x – 1
Calcular “x” en: P(x) + P(x+1) = 1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

17. Calcular la suma de coeficientes del polinomio:
P(x, y) = a2 xa+7 – bxa yb + abyb+4
Si es homogéneo.

a) – 3 b) 12 c) –1 d) – 12 e) 3

19. Si la expresión:

Tiene un grado relativo a: “x”, 12 y por grado relativo “y”, 10 el grado relativo con respecto a “z” es:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 10

20. Hallar el grado de P(x) si los grados de P2(x). Q(x) y son 27 y 23 respectivamente.

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

21. Encontrar un polinomio “P” de primer grado y en una variable tal que:

p(5) = 5 y P(4) = 3P(3)

a) 5x-2 b) 5x+2 c) 2x-5 d) 2x+5 e) x+5

22. Calcular el valor de “n” si la expresión:

es de 2do grado.

a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

23. Si:
Calcular P(1)

a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28

24. Dado el polinomio:
P(x; y) = xa-2 yb+5 + 2xa-3 yb +7xa-1 yb+6
Donde: GA =17 y GR(x) = 0
Calcular : (a – b)

a) –10 b)10 c) –11 d) 11 e) N.a.

25. Hallar “n” para que la suma de coeficientes del polinomio:
p(x- 3) = (2x – 5)n +(x – 1)n +(x – 2)n – 8(3x+1)
exceda en 28 a su término independiente:

a) 3 b) 2 c) 4 d) 6 e) 9

26. Dar el grado absoluto mínimo del polinomio:
P(x; y) = a4m x2m –4 y3 – abxm+3 yn –5 +ambm x3 y2m –6 – (b2xy)m –13

a) 26 b) 25 c) 24 d) 23 e) 11

DOMICILIARIA

TAREA DOMICILIARIA

01. Si P(x9 = 3x + 2. Calcular : P(x + 1) + P(x – 1)

a) 3x + 5 b) 3x – 1 c) 6x + 5 d) 6x + 4 e) 3x + 4

02. Si P(x – 3) = x + 5. Calcular : P(0) + P(1) + P(2)

a) 9 b) 10 c) 17 d) 18 e) 27

03. Dado: P(x+1) = ; x  1
Evaluar :
A =

a) 1/12 b) 12 c) 1/6 d) 6 e) 4

04. Si P(x) = 5x + 2. Evaluar :

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

05. Si P(x) = 2x + m ; P(4) = 11. Calcular P(-2)

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

06. Se tiene: P(x) = . Reducir :
M =

a) -4 b) -2 c) 0 d) 2 e) 4

07. Dados los polinomios :
P(x – 1) = x2 + x + 1
Q(x + 1 = x2 – 2x + 2
Además : H(x) = P(x + 1) + Q(x – 1)
Calcular H(3)

a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) 64

08. Dado el polinomio :

P(x;y) =

Si GA(P) = 17 y GR(x) = 6. Calcular (mn)

a) 5 b) 7 c) 35 d) 3 e) 15

09. Si el GA(P) = 11. Calcular “n”

P(x;y) =

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10. Dar el número de variables del monomio :
M(a;b;c;…) =
si su grado absoluto es 66.

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

11. Si P(x) = x2 + 3x+ 1. Hallar p(x+1). dar como respuesta la suma de los coeficientes del polinomio resultante.

a) 1 b) 10 c) 6 d) 12 e) N.a.

12. Si “n” es un número natural fijo y
p(x+n) = 2×2 – nx – 2n2 + 4
Hallar p(1) sabiendo que p(n) = -4.

a) -1 b) -4 c) 0 d) 2 e) 6
13. Dadas las expresiones algebraicas :
A =
B =
C =
Hallar el valor de “n”, sabiendo que el grado absoluto de la siguiente expresión : es 117.

a) 42 b) 39 c) 41 d) 37 e) 38

14. p(x), q(x) y r(x) son polinomios. Si G.A.(p(x))=20, G.A.(q(x))=10 y G.A.(r(x)) = 12. Hallar :

GA(p(x) + q(x))4  (r(x))2

a) 66 b) 36 c) 46 d) 50 e) N.a.

15. Si el término independiente del producto :
2(x – 3)2 (x – 2)3 (x – m)2 (x + 1)3 es -576. Hallar m2.

a) 4 b) 9 c) 16 d) 36 e) 64

16. Dado el siguiente polinomio :
P(x) = (3mx – 4m)2 + (3x – 4)2m – x2 + 4
Hallar la suma de sus coeficientes sabiendo que el término independiente es 36 y que m  N.

a) 3 b) -3 c) 4 d) -5 e) 5

17. Si la expresión :
E =
es de cuarto grado con respecto a “a” y de sexto grado absoluto. El valor de (x + y) es :

a) 28 b) 29 c) 31 d) 32 e) 35

18. Dado el monomio : M(x ; y) = (a + b)x2a-2 y3b
donde :
COEF (m) = GR(x)
GA(m) = 27
Calcular (ab)

a) 5 b) 7 c) 12 d) 35 e) 42

19. Dados los polinomios P(x) y Q(x) tal que :
tiene grado 4.
tiene grado 8
Dar el grado de Q.

a) 4 b) 7 c) 9 d) 10 e) 11

20. Si el monomio :
M(x ; y ) =
sus grados relativos son iguales, hallar su grado absoluto.

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

PRÁCTICA

01. Efectúe: ; x>0
Señalando luego de reducir el término lineal.

a) x b) –2x c) 5x d) 7x e) 9x

02. Si se cumple que: (a+b)2 – (a – b)2 = 4
Calcular

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

03. Si: . Calcular:
F =

a) 13 b) 15 c) 18 d) 19 e) 20

04. Siendo xy=1, calcular el valor de “m” en :

a) 2 b) 4 c) 6 d) 1/2 e) 1/4

05. Reducir:
F =

a) 1 b) 5 c) 6 d) 25 e) 36

06. Si: a – b = b – c = 5
Evaluar:
Q =

a) 25 b) 30 c) 35 d) 40 e) 45

07. Efectuar:
S =
{a,b,c}  R+

a) 3/2 b) 1/4 c) 2/5 d) 2/3 e) 5/2

08. Simplificar: (a , b  R+)
– a + – b

a) 5 b) 0 c) 7 d) 8 e) 9

09. Dada las condiciones:
(a+b+c) (2+ab+bc+ac) = 32
Calcule : a+b + c

a) 4 b) 2 c) d) 16 e) 64

10. Si : x =
y =
z = 2 –
Calcular :
a) 2 b) 5 c) 1 d) –1 e) 3

11. Si: , donde ab  0.
Determine el equivalente reducido de :

a) –1 b) 10 c) 0 d) 2 e) 1

12. Si: . Calcular:

a) 0 b) –1 c) –2 d) 1 e) 2

13. Si :

Halle : x + y + z , si : x,y,z  R-

a) 0 b) 2 c) –2 d) 1 e) –3

14. Si : x = ; y = . además:
. Calcular: E = x – y

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15. Siendo: a+b+c = 0 / a ; b ; c  R
Determine el equivalente reducido de “M” siendo: M = A  R, donde:
A =

a) –1/2 b) –2 c) 1 d) 2 e) 0

TAREA DOMICILIARIA

01. Si: a+b = ab+1  ; donde
a;b  R+. Hallar :

a) 0 b) 1 c) 2 d) 5 e) 4

02. Sean: a;b; x  R+ tales que :
(x +3b)2 + (x + 3a)2 = 12x(a + b)

Hallar : ; a  -b

a) 5 b) 12 c) 7 d) 21 e) 3

03. Si: a+b+c = 3
a2+b2+c2= 2. Hallar :

a) 7/2 b) 2/7 c) 1/7 d) 7 e) 4

04. Si: x – = 1 ; x > 0
Reducir:

a) x b) 1 c) 2 d) 0 e) 9

05. Si: . Calcular:
E =

a) -1 b) -2 c) 1 d) 2 e) 3

06. Si: x(x-3y) + 1 =
Calcular: , sabiendo que {x;y;z}  R

a) 3 b) 3/2 c) 5 d) 7/2 e) 5/2

07. Calcular el valor de :
sabiendo que se cumple:

a) 1 b) c) 0 d) e)

08. Si: = 4. Hallar

a) 30 b) 3 c) 2 d) 3 e) 2

09. Siendo f una expresión matemática de variables x;y;z  R, con regla de correspondencia:

f(x;y;z)=
Calcular :

a) 0 b) 1 c) 3 d) 5 e) 6

10. Si: =
Halle:

a) 0 b) -1 c) -2 d) -3 e) 2
11. Sabiendo que se cumple:
Encuentre el valor de :

a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) -1

12. Sean a,b, c  R – {0} que cumplen:

Halle:

a) 10 b) 15 c) 11 d) 9 e) 12
13. Si: (a , b, c)  R+. Calcular: .
Si se cumple:

a) 5 b) 7 c) 8 d) 10 e) 12

14. Sean las números reales a, b, c; que satisfacen:
; a + b + c  0

Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15. Hallar : para :

Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

15. Hallar : para :
x=

a) 1 b) 10 c) -1 d) 8 e) –5

PRÁCTICA N° 2

01. Determine al dividir:

Determine la suma de los coeficientes del cociente obtenido

a) 0 b) – 7 c) 2 d) – 1 e) 5

02. Si dividimos:
; {a; b}  Z
obtendremos como cociente y residuo polinomios no constantes mónicos de coeficientes reales; además se sabe que el residuo es un monomio halle: a + b

a) 13 b) 11 c) 15 d) 9 e) 10

03. El resto de la división:

Es el polinomio R(x) = 3x – 3. Calcule

a) – 1 b) 0 c) – 2 d) 3 e) N.A

04. En la siguiente división:

La suma de coeficientes del cociente es 1093, calcular “n”

a) 3 b) 6 c) 7 d) 8 e) 5

05. Halle el resto de la siguiente división:

a) 30x+77 b) 31x+77 c) – 31x+77 d) x+11 e) – 31x -77

06. Halle el resto:

a) 611 – 610x+1 b) 610 – 611x – 1 c) 610 +611x+1
d) 511 – 510x – e) 611 – 1

07. Halle el resto en:

Siendo n  N

a) 1 – x b) 1 + x c) d) e) 0

08. Halle el resto en la siguiente división:

a) 0 b) 1 – x c) 1 + x d) 1 + e) – 1

09. Al dividir el polinomio p(x) entre (x – 1) y luego entre (x – 2) se obtiene el mismo resto 4, además p(x) es divisible entre (x – 3). Calcular el término independiente p(x) si es de 3º y además cp es 2.

a) – 1 b) – 3 c) – 12 d) – 7 e) – 8

10. Sea p(x) un polinomio mónico de 3º si p(x) es divisible entre (x+2) y también entre (x+3) y además al dividir p(x) entre ( – 1) el resto es 17x+19. Calcular p(0)

a) 10 b) 17 c) 2 d) 12 e) 6

11. Calcule “m” para que la división:

a) 5 b) 6 c) d) 10 e) 8

12. Al dividir: se obtiene como cociente :

halle a+b+c+d

a) 34 b) 30 c) 21 d) 8 e) 50

13. Luego de dividir:

Calcule la suma de los coeficientes del cociente obtenido

a) – 140 b) – 156 c) – 175 d) – 144 e) – 136

14. Calcular a+b+c, si el resto de dividir:
entre
es :
a) 18 b) 20 c) 15 d) 19 e) 92

15. Halle el resto en la siguiente división:
donde n = 4º

a) x+2 b) – x + 1 c) – x – 1 d) x+1 e) x – 1